偏对称函数知识点,小班数学雪花片大变身活动反思

偏对称函数知识点,小班数学雪花片大变身活动反思

偏对称函数重要内容及核心考点?

一、 函数自己的对称性探究

  定理1.函数 y = f (x)的图像有关点A (a ,b)对称的充要条件是

  f (x) + f (2a-x) = 2b

  证明:(必要性)设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点,∵点P( x ,y)有关点A (a ,b)的对称点P(2a-x,2b-y)也在y = f (x)图像上,∴ 2b-y = f (2a-x)

  即y + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x) = 2b,必要性得证。

  (充分性)设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0)

  ∵ f (x) + f (2a-x) =2b∴f (x0) + f (2a-x0) =2b,即2b-y0 = f (2a-x0) 。

  故点P(2a-x0,2b-y0)也在y = f (x) 图像上,而点P与点P有关点A (a ,b)对称,充分性得征。

  推论:函数 y = f (x)的图像有关原点O对称的充要条件是f (x) + f (-x) = 0

  定理2. 函数 y = f (x)的图像有关直线x = a对称的充要条件是

  f (a +x) = f (a-x) 即f (x) = f (2a-x) (证明留给读者)

  推论:函数 y = f (x)的图像有关y轴对称的充要条件是f (x) = f (-x)

  定理3. (1)若函数y = f (x) 图像同时有关点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。

  (2)若函数y = f (x) 图像同时有关直线x = a 和直线x = b成轴对称 (a≠b),则y = f (x)是周期函数,且2| a-b|是其一个周期。

  (3)若函数y = f (x)图像既有关点A (a ,c) 成中心对称又有关直线x =b成轴对称(a≠b),则y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。

  (1)(2)的证明留给读者,以下给出(3)的证明:

  ∵函数y = f (x)图像既有关点A (a ,c) 成中心对称,

  ∴f (x) + f (2a-x) =2c,用2b-x代x得:

  f (2b-x) + f [2a-(2b-x) ] =2c………………(*)

  又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称,

  ∴ f (2b-x) = f (x)代入(*)得:

  f (x) = 2c-f [2(a-b) + x]…………(**),用2(a-b)-x代x得

  f [2 (a-b)+ x] = 2c-f [4(a-b) + x]代入(**)得:

  f (x) = f [4(a-b) + x],故y = f (x)是周期函数,且4| a-b|是其一个周期。

  二、 不一样函数对称性的探究

  定理4. 函数y = f (x)与y = 2b-f (2a-x)的图像有关点A (a ,b)成中心对称。

  定理5. (1)函数y = f (x)与y = f (2a-x)的图像有关直线x = a成轴对称。

  (2)函数y = f (x)与a-x = f (a-y)的图像有关直线x +y = a成轴对称。

  (3)函数y = f (x)与x-a = f (y + a)的图像有关直线x-y = a成轴对称。

  定理4与定理5中的(1)(2)证明留给读者,现证定理5中的(3)

  设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点,则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)有关直线x-y = a的轴对称点为P(x1, y1),则x1 = a + y0 , y1 = x0-a ,∴x0 = a + y1 , y0= x1-a 代入y0 = f (x0)之中得x1-a = f (a + y1) ∴点P(x1, y1)在函数x-a = f (y + a)的图像上。

  同理可证:函数x-a = f (y + a)的图像上任一点有关直线x-y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的(3)成立。

  推论:函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像有关直线x = y 成轴对称。

  三、 三角函数图像的对称性列表

函 数对称中心坐标对称轴方程y = sin x( kπ, 0 )x = kπ+π/2y = cos x( kπ+π/2 ,0 )x = kπy = tan x(kπ/2 ,0 )无

  注:(1)上表中k∈Z

  (2)y = tan x的全部对称中心坐标肯定是(kπ/2 ,0 ),而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册(下)及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案(修订版)中都觉得y = tan x的全部对称中心坐标是( kπ, 0 ),这明显是错的。

  四、 函数对称性应用举例

  例题一:定义在R上的很数函数满足:f (10+x)为偶函数,且f (5-x) = f (5+x),则f (x)一定是( ) (第十二届期望杯高二 第二次考试题)

  (A)是偶函数,也是周期函数 (B)是偶函数,但不是周期函数

  (C)是奇函数,也是周期函数 (D)是奇函数,但不是周期函数

  解:∵f (10+x)为偶函数,∴f (10+x) = f (10-x).

  ∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ,因为这个原因f (x)是以10为其一个周期的周期函数, ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴,因为这个原因f (x)还是一个偶函数。

  故选(A)

  例题二:设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都拥有反函数,还f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像有关直线y = x对称,若g(5) = 1999,既然如此那,f(4)=( )。

  (A) 1999; (B)2023; (C)2023; (D)2023。

  解:∵y = f(x-1)和y = g-1(x-2)函数的图像有关直线y = x对称,

  ∴y = g-1(x-2) 反函数是y = f(x-1),而y = g-1(x-2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x-1) = 2 + g(x), ∴有f(5-1) = 2 + g(5)=2023

  故f(4) = 2023,应选(C)

  例题三.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)= f(1-x),当-1≤x≤0时,

  f (x) = - x,则f (8.6 ) = _________ (第八届期望杯高二 第一考试试卷)

  解:∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴;

  又∵f(1+x)= f(1-x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数,∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3

  例题四.函数 y = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是( )(92全国高中毕业考试理) (A) x = - (B) x = - (C) x = (D) x =

  解:函数 y = sin (2x + )的图像的全部对称轴的方程是2x + = k +

  ∴x = - ,明显取k = 1时的对称轴方程是x = - 故选(A)

  例题五. 设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)= -f(x),当0≤x≤1时,

  f (x) = x,则f (7.5 ) = ( )

  (A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5

  解:∵y = f (x)是定义在R上的奇函数,∴点(0,0)是其对称中心;

  又∵f (x+2 )= -f (x) = f (-x),即f (1+ x) = f (1-x), ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴,故y = f (x)是周期为2的周期函数。

  ∴f (7.5 ) = f (8-0.5 ) = f (-0.5 ) = -f (0.5 ) =-0.5 故选(B)

小班数学雪花片大变身教案及反思?

您好,教学目标:

1.可以了解数学中雪花片的概念和特点。

2.可以利用雪花片的特点进行简单的数学计算。

3.可以设计和制作自己的雪花片。

教学重点:

1.雪花片的概念和特点。

2.利用雪花片进行简单的数学计算。

3.雪花片的制作和设计。

教学难点:

1.如何让学生理解雪花片的概念和特点。

2.如何让学生利用雪花片进行简单的数学计算。

3.如何让学生设计和制作自己的雪花片。

教学准备:

1.雪花片的图片和视频。

2.制作雪花片的材料(纸张、剪刀等)。

3.数学习题或套卷。

教学过程:

1.引入新知识

(1)播放雪花片的视频,并让学生看。

(2)让学生说说看,雪花片有什么特点?(对称、多边形等)

(3)让学生尝试用自己,来解释雪花片的概念。

2.探究新知识

(1)让学生完成一部分数学习题或套卷,比如:把一个正方形分成六个小正方形,可以得到多少种不一样的形状?

(2)让学生发现,这个问题中的形状就是雪花片。

(3)让学生尝试用雪花片的特点来解答这个问题。

3.拓展新知识

(1)让学生设计和制作自己的雪花片。

(2)让学生展示自己的雪花片,并让其他学生评论。

(3)让学生尝试用自己的雪花片来解答数学问题。

4.总结新知识

(1)让学生回答这个问题:你学到了什么?

(2)让学生总结雪花片的概念和特点。

(3)让学生总结如何利用雪花片进行简单的数学计算。

反思:

通过这节课,我发现小班的孩子们很喜欢制作雪花片。他们兴致勃勃地设计和制作自己的雪花片,还很享受展示自己的作品和听取其他学生的评论。然而我也发现这个课程存在一部分问题。第一,我没有足够时间让学生独立完成数学习题或套卷,致使一部分学生没有掌握并熟悉如何利用雪花片进行简单的数学计算。其次,我没有考虑到一部分学生的制作能力可能不够,致使他们没办法完成自己的雪花片。因为这个原因,我觉得在未来的教学中,我需更注意学生的个体差异,给予他们更多的支持和帮。

准备教具:雪花片,麦克风,数字卡片,教学PPT

设计要素:可爱动画学游戏开头,数字歌曲做音乐背景,后备律动操

造型引导:从颜色,形状,数量教会孩子辨别,建立形状构思

建立档案:奖励表现活跃的小孩,先个人,再群组,突出合作的重要性,学会从玩具中吸收快乐

会变化的树叶教案?

教学目标

1.了解各自不同的树木的总体生长规律还有它们的基本外形特点。

2.尝试比较树木的原始形状与树木变化形状当中的不一样,体会对称式花卉图案和均衡式花卉图案的装饰性形式美。

3.运用点、线、面元素,采取夸张和变形的方式、对树木原形进行简化和添加的艺术处理。

重点难点

1.先简化树木的原有外形,再在外形轮廓的基础上作个性化的艺术加工,完成创作。

2.图案变形的创作途中注意保持并突出树木的原形特点。

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