偏对称函数知识点

偏对称函数重要内容及核心考点？

一、 函数自己的对称性探究

　　定理1.函数 y = f (x)的图像有关点A (a ,b)对称的充要条件是

　　f (x) + f (2a－x) = 2b

　　证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)有关点A (a ,b)的对称点P（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x)

　　即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

　　（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)

　　∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。

　　故点P（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P有关点A (a ,b)对称，充分性得征。

　　推论：函数 y = f (x)的图像有关原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0

　　定理2. 函数 y = f (x)的图像有关直线x = a对称的充要条件是

　　f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）

　　推论：函数 y = f (x)的图像有关y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)

　　定理3. （1）若函数y = f (x) 图像同时有关点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

　　（2）若函数y = f (x) 图像同时有关直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

　　（3）若函数y = f (x)图像既有关点A (a ,c) 成中心对称又有关直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

　　（1）（2）的证明留给读者，以下给出（3）的证明：

　　∵函数y = f (x)图像既有关点A (a ,c) 成中心对称，

　　∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

　　f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）

　　又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，

　　∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：

　　f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

　　f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：

　　f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

　　二、 不一样函数对称性的探究

　　定理4. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像有关点A (a ,b)成中心对称。

　　定理5. （1）函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像有关直线x = a成轴对称。

　　（2）函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像有关直线x +y = a成轴对称。

　　（3）函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像有关直线x－y = a成轴对称。

　　定理4与定理5中的（1）（2）证明留给读者，现证定理5中的（3）

　　设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)有关直线x－y = a的轴对称点为P（x1， y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴点P（x1， y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上。

　　同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点有关直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的（3）成立。

　　推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像有关直线x = y 成轴对称。

　　三、 三角函数图像的对称性列表

函 数对称中心坐标对称轴方程y = sin x( kπ, 0 )x = kπ+π/2y = cos x( kπ+π/2 ,0 )x = kπy = tan x(kπ/2 ,0 )无

　　注：（1）上表中k∈Z

　　（2）y = tan x的全部对称中心坐标肯定是(kπ/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都觉得y = tan x的全部对称中心坐标是( kπ, 0 )，这明显是错的。

　　四、 函数对称性应用举例

　　例题一：定义在R上的很数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ） （第十二届期望杯高二 第二次考试题）

　　(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数

　　(C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数

　　解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).

　　∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因为这个原因f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因为这个原因f (x)还是一个偶函数。

　　故选(A)

　　例题二：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都拥有反函数，还f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像有关直线y = x对称，若g(5) = 1999，既然如此那，f(4)=（ ）。

　　（A） 1999； （B）往年； （C）往年； （D）往年。

　　解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像有关直线y = x对称，

　　∴y = g-1(x－2) 反函数是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=往年

　　故f(4) = 往年,应选（C）

　　例题三.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，

　　f (x) = － x，则f (8.6 ) = _________ （第八届期望杯高二 第一考试试卷）

　　解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

　　又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3

　　例题四.函数 y = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是（ ）(92全国高中毕业考试理) (A) x = － (B) x = － (C) x = (D) x =

　　解：函数 y = sin (2x + )的图像的全部对称轴的方程是2x + = k +

　　∴x = － ,明显取k = 1时的对称轴方程是x = － 故选(A)

　　例题五. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，

　　f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ）

　　(A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5

　　解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

　　又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。

　　∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)

新北师大版五年级数学上册第二单元轴对称和平移教案？

第二单元

轴对称和平移 教学目标

2、轴对称图形. 3、能积极地参加数学学习活动,增多学习数学的求知欲.

4、懂得用图形来描述现实世界中的某些情况,感受数学与平日生活原密切联系.

单元重点:能正确判断轴对称图形,并能在方格纸上画出轴对称图形的另一半,掌握并熟悉图形的平移.

单元难点: 能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴,使学生掌握并熟悉图形的平移,并会画出在水平方向或竖直方向上平移后的图形.

考试教材分析 本单元继续学习轴对称图形,采取对折等方式确定轴对称图形的对称轴.继续学习平移,要把简单的图形在方格纸上连续平移两次.在内容的编排上先学习对称,再学习轴对称,然后学习平移,单元结束时有一次操作型的实践活动.

讲,轴对称和平移是两种基本的图形变换.图形的轴对称和平移针对帮学生建立空间观念,掌握并熟悉变换的数学思想方式有很大作用.考试教材通过设计观察、操作等活动,使学生进一步认识轴对称图形及其对称轴,能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴,能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形,考试教材还通过在方格纸上将图形进行平移,使学生掌握并熟悉图形的平移,并会画出在水平方向或竖直方向上平移后的图形.这部分知识的学习,针对学生认识、理解图形的位置与变换,丰富学生的数学思想方式,发展学生的空间观念,提升学生运用转化的思想方式探索处理“空间与图形”的问题都拥有很大的作用.

1、呈现学生身边丰富、有趣的实例让学生充分感知轴对称、平移情况、如学生熟悉的基本平面图形、升国旗、抽屉、高空缆车的图片等等.使学生感受到轴对称与平移等图形变换就在周围,图形变换在生活中有着非常广泛的应用. 1、结合实例,感知身边的平移和轴对称情况.

2、在动手操作中体验图形变换的知识,掌握并熟悉图形变换的技能、发展空间观念.考试教材中具体安排了折叠、剪拼、画图等动手操作活动,这样在“做中学”不仅使学生加深体验图形变换的特点提升动手实践能力,累积数学活动的经验,而且，为学生独特的创意和丰富的想象提供了平台.本单元内容是在第一段学习了对称知识的基础上学习的,为后面进一步学习图形的变换打下了伏笔. 3、渗透数学的文化价值,培养对美的理解.考试教材在呈现方法上尽量给学、

分析,使学生一步一步领略图案设计的奇妙,一步一步掌握并熟悉一部分简单的图案设计技能,达到“灵活运用轴对称、平移进行图案设计”的要求.

第一节轴对称再认识

[教学内容] 轴对称再认识第21~22页

[教学目标]

1、进一步理解轴对称图形的特点,会判断一个图形是不是是轴对称图形.

2、能在操作途中通过折一折、画一画,找到轴对称图形的对称轴. [教学重点] 经历探索的过程,理解轴对称图形的特点,会判断一个图形是不是是轴对称图形.

[教学难点] 正确地表示出轴对称图形的对称轴.

[课时具体安排]1课时

[教学准备]ppt课件

[教学过程]

一、导入新课

师：我们都学过什么平面图形.

生：长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形? 师：能分别说出这些平面图形的特点吗? 师：考生们针对这些平面图形都很了解,假设我把它们进行对折,就可以发现它们的另一个特点.

生：判断它们是不是轴对称图形.

师：有关轴对称的知识你有什么了解?

生讲解轴对称图形的特点和对称轴. 师：这节课我们就继续研究有关轴对称的知识.

二、探索新知

师：既然如此那，这些平面图形中,什么图形是轴对称图形呢?(课件出示考试教材第21页中的平面图形).

小组合作：学生先猜出什么图形是轴对称图形,然后通过对折来验证自己的结论.大胆进行交流,养生引导学生说了解判断的依据.以此选出,长方形、正方形、等边三角形、等腰梯形、菱形、特殊的四边形都是轴对称图形.

师：下面,你们在方格纸上画出一个长方形,让它的长和宽分别是6个格和4个格,不需要折纸的办法,你还能找出它的对称轴吗?

引导学生用数方格的方式找出它们的对称轴. 师：你能画出这些平面图形的对称轴吗?任选一个你喜欢的轴对称图形画出它的对称轴.

学生独立尝试,然后进行交流.

师：画对称轴时大多数情况下用点来画线,其实就是常说的用虚线来表示对称轴.

学生练习画其他图形的对称轴.

师：通过对白和画图,你有哪些新发现? 学生得出长方形有两条对称轴,正方形有四条对称轴,等腰三角形有一条对

称轴,等边三角形有三条对称轴,等腰梯形有一条对称轴,菱形有两条对称

三、夯实练习：完成考试教材第22页练一练第1、2题.

四、课堂总结:本节课你有哪些收获?

五、作业布置

[板书设计]

长方形、正方形、等边三角形、等腰梯形、菱形? 对称轴用虚线表示

第2节 轴对称再认识 二

[教学内容] 轴对称再认识第23~24页

[教学目标]

1、通过画图的活动使学生进一步理解轴对称的特点.

2、能在方格纸上按照官方要求画出轴对称图形的另一半画出一个图形的轴对称图形.

[教学重点] 能在方格纸上按照官方要求画出轴对称图形的另一半,画出一个图形的轴对称图形.

[教学难点] 经历画图的过程,掌握并熟悉画图的方式.

[课时具体安排]1课时

[教学准备]ppt课件

[教学过程]

一、导入新课

师：还记得照镜子的游戏吗?我们来玩玩照镜子的游戏吧.

生：照自己、图形、数字?

回忆通过照镜子的游戏我们学会了什么数学知识.

引导学生回答出镜子里和镜子外面所形成的轴对称图形的特点,两边对称、大小相等、距离相等、方向相反?

师：这节课我们就按照轴对称图形的这些特点继续学习轴对称的知识. 板书课题：轴对称再认识二

二、探究新知 出示考试教材主题图1 半个小房子

1、图中画了什么?完整吗?

2、借助我们学习的有关轴对称图形的知识.你能画出轴对称图形的另一半吗?

3、假设要你画,你在中一半里都要画什么?

4、出示考试教材主题图中淘气按照轴对称小房子的一半画出的整个房子,他画的对吗?

5、学生自主观察独立思考,组内交流. 6、引导学生发现他画的小房子不对称,不对称的因素是房子右下方的长方形与左下方的长方形距离对称轴的格数明显不同多.

7、你能试着画出正确的小房子吗?要注意什么?

8、学生画好后总结：房顶左边的三角表距离对称轴三格,右边也要距离对称轴三格,左边墙体距离对称轴两格,右边墙体也距离对称轴两格,大门左右距离对称轴都是1格.

9、出示考试教材主题图2.你能试着沿对称轴,在方格纸上画出这个图形的另一半吗? 10、生独立成功后在小组内讨论,初步总结出画轴对称图形另一半的步骤和方式.

11、引导学生汇报总结.画出轴对称图形另一半的方式.

⑴找出所给图形的重点点,如图形的顶点、线段的相交点、端点等. ⑵数出或量出图形的重点点到

⑶在对称轴的另一侧找出重要点的对称点.

⑷按所给图形的顺序连接各点,画出所给图形的另一半.

12、结合方式再次修正自己的作品.

三、夯实练习

1、完成考试教材第23页下图. 2、完成考试教材第24页练一练第1、2题.

3、自己在方格纸上设计一个轴对称图形.

四、课堂总结：你有什么收获?画轴对称图形应该注意什么问题?

五、作业布置

[

板书设计]

轴对称再认识 二 1、找重要点

2、找对称点 3、描点、连线

第3节 平 移

[教学内容] 平移 第25~26页

[教学目标] 让学生在详细情境中进一步认识图形的平移,能在方格纸上把简单图形沿水平和竖直方向连续平移两次.

[教学重点] 能按照官方要求画出简单的平面图形平移后的图形,会按照平移前后的图形判断平移方向和距离.

[教学难点]认识图形的平移变换,探索它的基本性质,建立直观的空间观念.

[课时具体安排]1课时

[教学准备]ppt课件

[教学过程]

一、学习铺垫

1、电脑出示,我们用虚线表示原来的图形,用实线表示移动后的图形. 图形做平移运动.

图形往哪个方向平移的?

它向右或左平移了几格?怎么清楚的?

2、只要抓住一个点来看,数一数这个点到它所对应的点向右平移了几格,我们完全就能够清楚图形平移了几格.也可抓住一条边或一个部分观察,看看把图形的一条边或一些平移了多少格.

3、揭示课题.

二、合作交流,探索新知

1、探究画水平方向平移后的图形的方式.

出示考试教材主题图：提出要求,把小旗向左平移4格.

学生试着画出小旗向左平移4格后的图形.

教师巡视,找出学生典型错题,学生可能出现的错误.

把两个图形间的距离误解为一个图形平移的距离,平移的方向不对,平移后的图形形状或大小与原图形不符?

引导学生讨论发现,把小旗向左平移4格,先要确定方向,可以画个小箭头代表向左平移,再找到图形中重要的点,小旗四个顶点和旗杆下方的点,然后把重要点先平移对应的格数,最后连点成线,画出与原图一样的图形.平移后的小旗只是位置变了,但是，形状、大小都没有变化.

学生订正自己的答案.

2、探索画竖直方向平移后的图形的方式.

试着把小旗向上平移4格,在小组内说一说你是咋平移的.

以小组为单位进行汇报,向上平移小旗的过程.

引导学生发现：不管是向左平移还是向上平移,只是平移的方向不一样,方式基本一样.

3、总结画一个图形平移后的图形的方式. 第一、选点.其实就是常说的在原图形上选择哪些决定图形形状和大小的点,如正方形的四个角上的顶点.

第二、移点.其实就是常说的按照官方要求把选择的点向规定的方向平移规定的格数. 第三、连点成形.

三、实践操作、夯实新知

1、在方格纸上画出小船向下平移3格,再向右平移4格后的图形.引导学生画出两次平移的图形,画完后交流平移过程.

2、完成考试教材第25页第1、2、3、4题.

四、课堂总结本节课你有哪些收获?平移图形的方式

五、作业布置

[板书设计] 平移

起点 移点 连点成形

第4节 欣赏与设计

[教学内容] 欣赏与设计 第27~28页

[教学目标]

1、通过欣赏与设计图案 ,使学生进一步熟悉已学过的轴对称、平移情况.

2、欣赏美丽的对称图形,并能自己设计图案.

[教学重点] 通过欣赏与设计图案,使学生进一步熟悉已学过的轴对称、平移情况.

[教学难点] 欣赏美丽的对称图形,并能自己设计图案.

[课时具体安排]1课时

[教学准备]ppt课件

[教学过程]

一、学习引入 师：在本单元里,我们学习了什么相关图形变换的知识,轴对称、平移? 师：举例说明生活中有什么轴对称和平移的情况?这两种情况有哪些特点?

生自由汇报.

二、欣赏图案

1、导入课题.

师：考生们,你们想成为一名小小设计师吗?今天我们一起来学习《欣赏设计》,只要你们好好学习,我想你们就一定能设计出美丽的图案.

板书课题：欣赏与设计

2、图案欣赏. 出示课件,学生欣赏图案.

3、说一说.

师：上面这几幅图的图案是由哪个图形变换得到的?

小组讨论,再进行交流.

4、想一想.

出示课件.

认真观察这图案是由哪个图形经过什么变换得到的? 同桌交流汇报.请你在方格纸上继续画下去.

三、设计图案

1、利用轴对称、平移设计一个图案. 2、交流并欣赏.说一说好在什么地方?

3、师生活动,教师提问,学生互评.

四、练习夯实

1、完成考试教材第28页练一练第1、2、3、4题. 五、课堂总结：轴对称和平移知识广泛地应用于平面、立体的建筑工艺和几何图像上,而且，还涉及到其他领域,期望考生们平日间注意观察,成为杰出的设计师.

六、作业布置

[板书设计]

欣赏与设计

轴对称与平移

学生设计作品展示

竹蜻蜓小班教案？

设计意图：

幼儿的思维离不开动作，动手操作是智力的源泉，发展的起点。瑞士教育心理学家皮亚杰的"知识来源自于动作"和前苏联教育家苏霍姆林基说的"儿童的智慧在他手指尖上"道出了动手操作的重要性。而幼儿科技小制作就是集知识与技能、奥秘与创造、动手与动脑为一体的幼儿感兴趣的操作活动，它材料收集简单方便、能揭示蕴藏的科学情况与原理、深入浅出，倍受幼儿喜爱。设计此次活动，旨在让幼儿体验动手制作、体验玩中探索的快乐，并在动手操作中培养幼儿良好的科学感知，提升观察、思维、想象等能力，促进幼儿手脑协调及心智的蓬勃发展和进步。

活动目标：

1.探索对称图形的制作及竹蜻蜓飞行中的奥秘。

2.看懂图示，尝试用对折、画剪、粘贴等方式制作竹蜻蜓。

3.养成活动后收拾整理材料工具的习惯，体验成功的愉悦情绪。

活动准备：

1.蝴蝶图片一张

2.工具材料准备：剪刀、吸管、透明胶、人手一张画报纸（稍厚）、记号笔

3.制作流程图七幅

4.五角星（鼓励制作成功的幼儿用）

活动过程：

（一）出示蝴蝶，认识左右对称师：今天老师给各位考生带来了一只美丽的蝴蝶，请各位考生认真观察一下，它的翅膀有哪些特点？

（二）制作左右对称图形

1.讨论制作左右对称图形的方式提问：你们会做左右对称的图形吗？应该怎么做呢？（幼儿讨论回答）

2.幼儿尝试用画报纸制作左右对称图形

3.出示图示，总结方式：纸儿长长边对边，中线开始图案画，沿着轮廓剪一剪，再给图形穿新衣！

（三）制作"竹蜻蜓"

1.出示例子"竹蜻蜓"提问：制作竹蜻蜓需用到什么材料和工具？

2.幼儿看图示并理解提问：谁看懂了？是否有看不懂的地方？谁来帮他？

3.幼儿看图示制作，老师巡回详细指导

（四）探索"竹蜻蜓"飞行的奥秘，激发幼儿探索的想法。

1.玩玩竹蜻蜓，探索竹蜻蜓飞行的奥秘提问：你的竹蜻蜓能成功飞行吗？你是咋玩的？发现了什么？（为成功飞行及发现奥秘的幼儿贴五角星，表示鼓励）

2.老师小结：告诉各位考生一个秘密，竹蜻蜓在我们国内已经流传了往年多年的历史，听别人说直升飞机的螺旋桨就是大家受到竹蜻蜓的启发后才制造出来的。看来这小小的玩具中还藏着大道理呢！

活动延伸：

将制作的"竹蜻蜓"投放在科学操作区，鼓励幼儿继续探索发现它飞行的更多奥秘，并相互交流探讨，进一步激发幼儿观察、思考、探索的兴趣。

活动建议：

平日间可在区域活动中提供一部分看图示制作的材料供幼儿操作，提升幼儿的.动手能力及看图示制作的本领，针对这个问题活动打下基础；建议没有制作经验的幼儿可以分两次活动进行，首次活动练习剪对称图形制作竹蜻蜓的翅膀及装饰不一样花纹，第二次活动进行吸管及翅膀的粘合和探索飞行的奥秘。

活动点评：

生态课堂的观念让我们清醒地认识到：幼儿的蓬勃发展和进步不仅要全面化、个性化，更应是持续时间、终身的蓬勃发展和进步。此活动自始至终以幼儿的自主学习为主，通过观察、讨论、图示、制作、探索等方式与手段，让幼儿在动手操作、做做玩玩中自主取得有关的经验与技能，幼儿学得有趣，教师详细指导方式得体，充分反映了师幼角色的和谐生态关系：即课堂的主人是孩子而不是老师，把课堂更多的时候空让位给孩子，让孩子真正地走到台前，在有限时间内得到长足的蓬勃发展和进步。

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