2023年数学联赛考试试卷及每题详解？ 2023年全国初中数学联合竞赛考试试卷参考答案 第一试 一、选择题：（这道题满分42分，每小题7分） 1．已知 ， ， ，既然如此那， 的大小关系是 （ C ）...
初中
2023年数学联赛试题及每题详解，2023年数学高中联赛预赛试题
2023年数学联赛考试试卷及每题详解？
2023年全国初中数学联合竞赛考试试卷参考答案
第一试
一、选择题：（这道题满分42分，每小题7分）
1．已知 ， ， ，既然如此那， 的大小关系是 （ C ）
A.B.C. D.
2．方程 的整数解 的组数为 （ B ）
A．3. B．4. C．5. D．6.
3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 （ D ）
A．B． C． D．
4．已知实数 满足 ，则 的最小值为 （ B ）
A． . B．0. C．1.D． .
5．若方程 的两个不相等的实数根 满足 ，则实数 的全部可能的值之和为 （ B ）
A．0.B． . C． . D． .
6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数 （数字可重复使用），要求满足 .这样的四位数共有 （ C ）
A．36个. B．40个. C．44个. D．48个.
二、填空题：（这道题满分28分，每小题7分）
1．已知互不相等的实数 满足 ，则 ．
2．让 是完全平方数的整数 的个数为 1 ．
3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则 ＝ ．
4．已知实数 满足 ， ， ，则 ＝ ．
第二次考试 （A）
一、（这道题满分20分）已知直角三角形的边长都是整数，周长为30，求它的外接圆的面积.
解 设直角三角形的三边长分别是 （ ），则 .
明显，三角形的外接圆的直径即为斜边长 ，下面先求 的值.
由 及 得 ，故此， .
由 及 得 ，故此， .
又因为 为整数，故此， .
按照勾股定理可得 ，把 代入，化简得 ，故此，
，
因为 都是整数且 ，故此，只可能是 解得
故此直角三角形的斜边长 ，三角形的外接圆的面积为 .
二．（这道题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明： .
证明：连接OA，OB，OC.
∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得 ， .
又由切割线定理可得 ，∴ ，∴D、B、C、O四点共圆，
∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，
∴ ，∴ .
三．（这道题满分25分）已知抛物线 的顶点为P，与 轴的正半轴交于A 、B （ ）两点，与 轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M ，若AM//BC，求抛物线的剖析解读式.
解 易求得点P ，点C .
设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为 .
明显， 是一元二次方程 的两根，故此， ， ，又AB的中点E的坐标为 ，故此，AE＝ .
因为PA为⊙D的切线，故此，PA⊥AD，又AE⊥PD，故此，由射影定理可得 ，即 ，又易知 ，故此，可得 .
又由DA＝DC得 ，即 ，把 代入后可解得 （另一解 舍去）.
又因为AM//BC，故此， ，即 .
把 代入解得 （另一解 舍去）.
因为这个原因，抛物线的剖析解读式为 .
第二次考试 （B）
一．（这道题满分20分）已知直角三角形的边长都是整数，周长为60，求它的外接圆的面积.
解 设直角三角形的三边长分别是 （ ），则 .
明显，三角形的外接圆的直径即为斜边长 ，下面先求 的值.
由 及 得 ，故此， .
由 及 得 ，故此， .
又因为 为整数，故此， .
按照勾股定理可得 ，把 代入，化简得 ，故此，
，
因为 都是整数且 ，故此，只可能是 或
解得 或
当 时， ，三角形的外接圆的面积为 ；
当 时， ，三角形的外接圆的面积为 .
二．（这道题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明：∠BAE＝∠ACB.
证明：连接OA，OB，OC，BD.
∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得
， .
又由切割线定理可得 ，
∴ ，∴D、B、C、O四点共圆，
∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，
∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD， ∴ ，
∴ ，∴ .
又∠BDA＝∠BDP＋90°＝∠ODC＋90°＝∠ADC，∴△BDA∽△ADC，
∴∠BAD＝∠ACD，∴AB是△ADC的外接圆的切线，∴∠BAE＝∠ACB.
三．（这道题满分25分）试题和解答与（A）卷第三题一样.
第二次考试 （C）
一．（这道题满分20分）试题和解答与（B）卷第一题一样.
二．（这道题满分25分）试题和解答与（B）卷第二题一样.
三．（这道题满分25分）已知抛物线 的顶点为P，与 轴的正半轴交于A 、B （ ）两点，与 轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.将抛物线向左平移 个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q，且∠QBO＝∠OBC.求抛物线的剖析解读式.
解 抛物线的方程即 ，故此，点P ，点C .
设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为 .
明显， 是一元二次方程 的两根，故此， ， ，又AB的中点E的坐标为 ，故此，AE＝ .
因为PA为⊙D的切线，故此，PA⊥AD，又AE⊥PD，故此，由射影定理可得 ，即 ，又易知 ，故此，可得 .
又由DA＝DC得 ，即 ，把 代入后可解得 （另一解 舍去）.
将抛物线 向左平移 个单位后，得到的新抛物线为
.
易求得两抛物线的交点为Q .
由∠QBO＝∠OBC可得 ∠QBO＝ ∠OBC.
作QN⊥AB，垂足为N，则N ，又 ，故此，
∠QBO＝ ＝
.
又 ∠OBC＝ ，故此，
.
解得 （另一解 ，舍去）.
因为这个原因，抛物线的剖析解读式为 .
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