因式分解的所有的公式，因式分解的各种公式

因式分解的全部的公式？

因式分解公式:（1）平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)；（2）完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²；（3）立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)等等。

什么是因式分解

把一个多项式在一个范围化为哪些整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

因式分解主要有十字相乘法，还未确定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法等方式，求根公因式分解没有普遍适用的方式，初中数学考试教材中主要讲解了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

因式分解经常会用到公式

1、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。

2、完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²。

3、立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)。

4、立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。

5、完全立方和公式：a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³。

6、完全立方差公式：a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³。

7、三项完全平方公式：a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²。

8、三项立方和公式：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)。

平方差公式：

a的平方-b的平方=(a+b)(a-b)

完全平方公式：

a的平方+2ab+b的平方=(a+b)的平方

a的平方-2ab+b的平方=(a-b)的平方

立方和（差）公式：

a的立方-b的立方=(a-b)(a的平方+ab+b的平方)

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

因式分解公式：

平方差公式

：(a+b)(a-b)=a²-b²

完全平方公式

：(a±b)²=a²±2ab+b²

把式子倒过来：

(a+b)(a-b)=a²-b²

a²±2ab+b²= (a±b)²

就变成了因式分解，因为这个原因，我们把用利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方式称之为公式法

。

例子：

1、25-16x²=5²-(4x)²=(5+4x)(5-4x)

2、p4-1

=(p²+1)(p²-1)

=(p²+1)(p+1)(p-1)

3、x²+14x+49

=x²+2·7·x+7²

=(x+7)²

4、(m-2n)²-2(2n-m)(m+n)+(m+n)²

=(m-2n)²+2(m-2n)²(m+n)+(m+n)²

=[(m-2n)+(m+n)]²

=(2m-n)²

扩展资料

注意点：

1、假设多项式

的首项为负，应先提取负号；

这里的“负”，指“负号”。假设多项式的第一项是负的，大多数情况下要提出负号，使括号内第一项系数是正的。

2、假设多项式的各项含有公因式，既然如此那，先提取这个公因式，再进一步分解因式

；

要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内请不要漏掉1；提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不可以再分解。

3、假设各项没有公因式，既然如此那，可尝试运用公式、十字相乘法

来分解；

4、假设用上面说的方式不可以分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。

因式分解的公式有什么（合适初三奥数的都要）？

因式分解（分解因式）把一个多项式化为哪些最简整式的积的形式，这样的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。在数学求根作图方面有很广泛的应用。十字相乘法拆项、添项法配方式应用因式定理换元法求根法图象法主元法特殊值法还未确定系数法双十字相乘法二次多项式因式分解多项式因式分解步骤几道经典案例题型四个注意应用因式分解公式平方差公式完全平方公式立方和（差）立方公式高级结论方式基本方式 提公因式法 公式法 分解因式技巧竞赛用到的方式 分组分解法 十字相乘法 拆项、添项法 配方式 应用因式定理 换元法 求根法 图象法 主元法 特殊值法 还未确定系数法 双十字相乘法 二次多项式因式分解多项式因式分解步骤几道经典案例题型四个注意应用因式分解公式 平方差公式 完全平方公式 立方和（差）立方公式展开　　定义　　因式分解的定义和主要方式常见因式分解主要公式　定义：把一个多项式化为哪些最简整式的乘积的形式，这样的变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。 　　意义：它是中学数学中最最重要，要优先集中精力的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中是我们处理不少数学问题的有力工具。因式分解方式灵活，技巧性强，学习这些方式与技巧，不单单是掌握并熟悉因式分解内容所必需的，而且，针对培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都拥有着十分独特的作用。学习它，既可以学习的整式四则运算，又为学习分式把基础知识功底打好；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提升学生综合分析和处理问题的能力。 　　分解因式与整式乘法为相反变形。 　　同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤编辑本段高级结论　　在高等数学上因式分解有一部分重要结论，在初等数学方面上证明很困难，但是，理解比较容易。 　　1 因式分解与解高次方程有密切的关系。针对一元一次方程和一元二次方程，初中已有固定和容易的方式。在数学上可以证明，针对一元三次和一元四次方程，也有固定的公式可以解答。只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有讲解。针对分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方式，只是比较复杂。针对五次以上的大多数情况下多项式，已经证明不可以找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法。 　　2 全部的三次和三次以上多项式都可以因式分解。这给人的印象可能有点不可思议。例如X^4+1,这是一个一元四次多项式，给人的印象似乎不可以因式分解。但是，它的次数高于3，故此，一定可以因式分解。假设有兴趣，你同样完全可以用还未确定系数法故将他分解，只是分解出来的式子依然不会整洁。 　　3 因式分解虽然没有固定方式，但是，求两个多项式的公因式却有固定方式。因式分解不少时候就是用来提公因式的。找寻公因式可以用辗转相除法来求得。标准的辗转相除技能针对中学生来说难度颇高，但是，中学有的时候，候要处理的多项式次数依然不会太高，故此，反复利用多项式的除法也可比较笨，但是，有效地处理找公因式的问题。编辑本段方式　　因式分解没有普遍的方式，初中数学考试教材中主要讲解了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，还未确定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。 　　注意三原则 　　1．分解要彻底（是不是有公因式是否可用公式） 　　2．最后结果唯有小括号 　　3．最后结果中多项式首项系数为正（比如：-3x^2+x=x(-3x+1）） 　　4．最后结果每一项都为最简因式 　　归纳方式：北师大版八下课本上有的 　　1．提公因式法。 　　2．公式法。 　　3．分组分解法。 　　4．凑数法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)] 　　5．组合分解法。 　　6．十字相乘法。 　　7．双十字相乘法。 　　8．配方式。 　　9．拆项补项法。 　　10．换元法。 　　11．长除法。 　　12．求根法。 　　13．图象法。 　　14．主元法。 　　15．还未确定系数法。 　　16．特殊值法。 　　17．因式定理法。编辑本段基本方式提公因式法　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可是多项式。 　　假设一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，以此将多项式化成两个因式乘积的形式，这样的分解因式的方式叫做提取公因式。 　　详细方式：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的一样的字母，而且，各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有成绩时，公因式系数为各成绩的最大公约数。假设多项式的第一项是负的，大多数情况下要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 　　口诀：找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 　　比如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m 　　a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。 　　注意：把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式公式法　　假设把乘法公式反过来，完全就能够把某些多项式分解因式，这样的方式叫公式法。 　　平方差公式: (a+b)(a-b)=a²-b² 反过来为a²-b²=(a+b)(a-b) 　　完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b² 反过来为a²+2ab+b²=(a+b)² 　　(a-b)²=a²-2ab+b² a²-2ab+b²=(a-b)² 　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式一定要是三项式，这当中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 　　两根式：ax²+bx+c=a[x-(-b+√(b^2-4ac))/2a][x-(-b-√(b^2-4ac))/2a] 两根式　　立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)； 　　立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) 　　完全立方公式：a³±3a³b+3ab²±b³=(a±b)³． 　　公式：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) 　　比如：a²+4ab+4b² =(a+2b)²。分解因式技巧　　1．分解因式技巧掌握并熟悉： 　　（1）分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边一定要是多项式 　　（2）分解因式的结果一定要是以乘积的形式表示 　　（3）每个因式一定要是整式，且每个因式的次数都一定要低于原来多项式的次数；　 　　（4）分解因式一定要分解到每个多项式因式都不可以再分解为止。 　　注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应该从系数和因式两个方面考虑。 　　2．提公因式法基本步骤： 　　（1）找出公因式 　　（2）提公因式并确定另一个因式： 　　（1）第1个步骤找公因式可以按照照确定公因式的方式先确定系数再确定字母 　　（2）第2个步骤提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可以用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式 　　（3）提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数一样。编辑本段竞赛用到的方式分组分解法　　分组分解是解方程的一种简洁的方式，我们来学习这个知识。 　　能分组分解的方程有四项或大于四项，大多数情况下的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。 　　例如： 　　ax+ay+bx+by 　　=a(x+y)+b(x+y) 　　=(a+b)(x+y) 　　我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，马上解除了困难。 　　同样，该题目也可这样做。 　　ax+ay+bx+by 　　=x(a+b)+y(a+b) 　　=(a+b)(x+y) 　　几道经典案例题型： 　　1． 5ax+5bx+3ay+3by 　　解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 　　说明：系数明显不同一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。 　　2． x³-x²+x-1 　　解法：=(x³-x²)+(x-1) 　　=x²(x-1)+ (x-1) 　　=(x-1)(x²+1) 　　利用二二分法，提公因式法提出 x2，然后相合轻松处理。 　　3． x²-x-y²-y 有关公式解法：=(x²-y²)-(x+y) 　　=(x+y)(x-y)-(x+y) 　　=(x+y)(x-y-1) 　　利用二二分法，再利用公式法a²-b²=(a+b)(a-b)，然后相合处理。十字相乘法　　目前的考试教材降低难度，不需要学。但学奥数的考生注意了，这个不会你就别考了！ 　　这样的方式有两种情况。 　　（1）x²+﹙p+q﹚x+pq型的式子的因式分解 　　这种类型二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因为这个原因，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ． 　　例题一：x²-2x-8 　　=(x-4)(x+2) 　　（2）kx²+mx+n型的式子的因式分解 　　假设有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，既然如此那，kx²+mx+n=(ax+c)(bx+d)． 　　图示请看下方具体内容： 　　例题二：(7x+2)(x-3)中a=1 b=7 c=2 d=-3 　　因为 　　-3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19， 　　故此，=(7x+2)(x-3)． 　　十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中 　　例题三：6X²+7X+2 　　第1项二次项（6X²）拆分为：2×3 　　第3项常数项（2）拆分为：1×2 　　2（X）　3（X） 　　1　2 　　对角相乘：1×3+2×2得第2项一次项（7X） 　　∴6X²+7X+6=（2X+1）（3X+2） 　　与之对应的还有双十字相乘法，也可学一学。拆项、添项法　　这样的方式指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式合适于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，一定要在与原多项式相等的原则下进行变形。 　　比如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 　　=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) 　　=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) 　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) 　　=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b) 　　=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) 　　=(c+b)(c-a)(a+b)．配方式　　针对某些不可以利用公式法的多项式，可以故将他配成一个完全平方法，然后再利用平方差公式，就可以故将他因式分解，这样的方式叫配方式。属于拆项、补项法的一种情况特殊。也要注意一定要在与原多项式相等的原则下进行变形。 　　比如：x²+3x-40 　　=x²+3x+2.25-42.25 　　=(x+1.5)²-(6.5)² 　　=(x+8)(x-5)．应用因式定理　　针对多项式f(x)，假设f(a)=0，既然如此那，f(x)必含有因式x-a． 　　比如：f(x)=x²+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x²+5x+6的一个因式。(其实，x²+5x+6=(x+2)(x+3)．) 　　注意：1、针对系数都是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数 　　2．针对多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数换元法　　有的时候，在分解因式时，可以选择多项式中的一样的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这样的方式叫做换元法。注意：换元后勿忘还元。 　　比如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时，可以令y=x²+x,则 　　原式=(y+1)(y+2)-12 　　=y²+3y+2-12=y²+3y-10 　　=(y+5)(y-2) 　　=(x²+x+5)(x²+x-2) 　　=(x²+x+5)(x+2)(x-1)． 　　也可参看右图。求根法　　令多项式f(x)=0,得出其根为x¹，x²，x³，……xn，则该多项式可分解为f(x)=a(x-x¹)(x-x²)(x-x³)……(x-xn) ． 　　比如在分解2x^4+7x³-2x²-13x+6时，令2x^4 +7x³-2x²-13x+6=0， 　　则通过综合除法就可以清楚的知道，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1． 　　故此，2x^4+7x³-2x²-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．图象法　　令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x¹,x²,x³,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=a(x-x¹)(x-x²)(x-x³)……(x-xn)． 　　与方式⑼相比，能规避解方程的麻烦，但是，不够准确。 　　比如在分解x³ +2x²-5x-6时，可以令y=x³; +2x² -5x-6. 　　作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 　　则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．主元法　　先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。特殊值法　　将2或10代入x，得出数p，将数p分解质因数，将质因数一定程度上的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 　　比如在分解x³+9x²+23x+15时，令x=2，则 　　x³ +9x²+23x+15=8+36+46+15=105， 　　将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ． 　　注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别是x+1，x+3，x+5，在x=2时的值， 　　则x³+9x²+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。还未确定系数法　　第一判断出分解因式的形式，然后设出对应整式的字母系数，得出字母系数，以此把多项式因式分解。 　　比如在分解x^4-x³-5x²-6x-4时，由分析就可以清楚的知道：这个多项式没有一次因式，因而只可以分解为两个二次因式。 　　于是设x^4-x³-5x²-6x-4=(x²+ax+b)(x²+cx+d) 有关公式=x^4+(a+c)x³+(ac+b+d)x²+(ad+bc)x+bd 　　由此可得a+c=-1， 　　ac+b+d=-5， 　　ad+bc=-6， 　　bd=-4． 　　解得a=1，b=1，c=-2，d=-4． 　　则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)． 　　也可参看右图。双十字相乘法　　双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。 　　双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子请看下方具体内容： 　　ax²+bxy+cy²+dx+ey+f 　　x、y为未知数，其余都是常数 　　用一道经典例题讲解来说明如何使用。 　　例子：分解因式：x²+5xy+6y²+8x+18y+12． 　　分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。 　　解：图请看下方具体内容，把全部的数字交叉相连就可以 　　x 2y 2 　　x 3y　6 　　∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)． 　　双十字相乘法其步骤为： 　　（1）先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图（1）中x²+5xy+6y²=(x+2y)(x+3y) 　　（2）先依一个字母（如y）的一次系数成绩常数项。如十字相乘图（2）中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6) 　　（3）再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图（3），这一步不可以省，不然容易出错。二次多项式因式分解　　（根与系数关系二次多项式因式分解） 　　例子：针对二次多项式 aX²+bX+c(a≠0) 　　aX²+bX+c=a[X²+(b/a)X+(c/a)X]. 　　当△=b²-4ac≥0时， 　　=a(X²-X1-X²+X¹X²) 　　=a(X-X¹)(X-X²).编辑本段多项式因式分解步骤　　（1）假设多项式的各项有公因式，既然如此那，先提公因式； 　　（2）假设各项没有公因式，既然如此那，可尝试运用公式、十字相乘法来分解； 　　（3）假设用上面说的方式不可以分解，既然如此那，可以尝试用分组、拆项、补项法来分解 　　（4）分解因式，一定要进行到每一个多项式因式都不可以再分解为止。 　　也可用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能不能套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对适合。”编辑本段几道经典案例题型　　1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2． 　　解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项） 　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方） 　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 　　=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x] 　　=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) 　　=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] 　　=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)． 　　2．求证：针对任何实数x,y，下式的值都不会为33： 　　x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5． 　　解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) 　　=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) 　　=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) 　　=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) 　　=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)． 　　当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不一样，而33不可以分成四个以上不一样因数的积，故此，原出题成立。 　　3．．△ABC的三边a、b、c有请看下方具体内容关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。 　　分析：此题本质性是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 　　证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0， 　　∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0． 　　∴(a-c)(a+2b+c)=0． 　　∵a、b、c是△ABC的三条边， 　　∴a+2b+c0． 　　∴a－c=0， 　　即a=c，△ABC为等腰三角形。 　　4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。 　　解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1) 　　=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．编辑本段四个注意　　因式分解中的四个注意，可用四句话概括请看下方具体内容：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某一个提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举下例 可供参考 　　例题一 把－2a－2b+2ab+4分解因式。 　　解：－2a－2b+2ab+4=－（2a－2ab+2b－4）=－（a－b+2）（a－b－2） 　　这里的“负”，指“负号”。假设多项式的第一项是负的，大多数情况下要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生产生诸如－9x2+4y2=（－3x）2－（2y）2=（－3x+2y）（－3x－2y）=（3x－2y）（3x+2y）的错误 　　例题二把－12x2nyn+18xn+2yn+1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn+18xn+2yn+1－6xnyn－1=－6xnyn－1（2xny－3x2y2+1） 　　这里的“公”指“公因式”。假设多项式的各项含有公因式，既然如此那，先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内请不要漏掉1。 　　分解因式，一定要进行到每一个多项式因式都不可以再分解为止。即分解究竟，不可以半途而废的意思。这当中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不可以再分解。防止学生产生诸如4x4y2－5x2y2－9y2=2y（4x4－5x2－9）=2y（2x+1）（4x2－9）的错误。 　　考试时应注意： 　　在没有说明化到实数时，大多数情况下只化到有理数就够了，有说明实数，大多数情况下就要化到实数！ 　　由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方式之中，与因式分解的四个步骤或说大多数情况下思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能不能套公式，十字相乘试一试，分组分解要适合”等是一脉相承的。编辑本段应用　　1． 应用于多项式除法。 　　2． 应用于高次方程的求根。 　　3． 应用于分式的通分与约分 　　顺带一提，梅森合数分解已经获取一部分渺小而又容易受到忽视的进展： 　　1，p=4r+3，假设8r+7也是素数，则：(8r+7)|(2^P-1)。即（2p+1）|（2^P-1） 　　.比如： 　　23|(2^11-1);；11=4×2+3 　　47|(2^23-1);；23=4×5+3 　　167|(2^83-1);,,,.83=4×20+3 　　。 　　2,，p=2^n×3^2+1,，则（6p+1）|(2^P-1)， 　　比如：223|(2^37-1);；37=2×2×3×3+1 　　439|(2^73-1)；73=2×2×2×3×3+1 　　3463|(2^577-1);；577=2×2×2×2×2×2×3×3+1 　　，，，。 　　3，p=2^n×3^m×5^s-1,则（8p+1）|（2^P-1） 　　.比如；233|(2^29-1)；29=2×3×5-1 　　;1433|(2^179-1)；179=2×2×3×3×5-1 　　1913|（2^239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1 　　，，，。编辑本段因式分解公式平方差公式　　(a+b)(a-b)=a^2-b^2完全平方公式　　(a+b)^2=a^2+2ab+b^;2 　　(a-b)^2=a^2-2ab+b^2立方和（差）立方公式　　两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差。 　　即a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 　　证明请看下方具体内容： a^3-b^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 　　故此，a^3-b^3=（a-b）a^3-[-3(a^2)b+3ab^2]=(a-b)(a-b)^2+3ab(a-b) 　　=(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)=(a-b)(a^2+ab+b^2)

因式分解求公式？

1、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。

2、完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²。

3、立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)。

4、立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。

5、完全立方和公式：a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³。

6、完全立方差公式：a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³。

7、三项完全平方公式：a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²。

8、三项立方和公式：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)。

因式分解方式

1、提公因式法

假设一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，以此将多项式化成两个因式乘积的形式，这样的分解因式的方式叫做提公因式法。

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。公因式可以是单项式，也可是多项式。

详细方式：在确定公因式前，应该从系数和因式两个方面考虑。当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的一样的字母，而且，各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有成绩时，公因式系数为各成绩的最大公约数。假设多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出负号时，多项式的各项都要变号。

基本步骤：

(1)找出公因式；

(2)提公因式并确定另一个因式；

（1）找公因式可以按照照确定公因式的方式先确定系数再确定字母；

（2）提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因 式后剩下的一个因式，也可以用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

（3）提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数一样。

口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。

2、公式法

假设把乘法公式的等号两边互换位置，完全就能够得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这样的分解因式的方式叫做公式法。

3、十字相乘法

十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。

口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。(拆两头，凑中间)

(1)用十字相乘法分解二次项，得到一个十字相乘图(有两列)；

(2)把常数项

f

分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的

ey

，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的

dx

．

(3)先以一个字母的一次系数成绩常数项；

(4)再按另一个字母的一次系数进行检验；

(5)横向相加，纵向相乘。

4、轮换对称法

当试题为一个轮换对称式时，可用轮换对称法进行分解。

5、分组分解法

通过分组分解的方法来分解提公因式法和公式分解法没办法直接分解的因式，这样的分解因式的方式叫做分组分解法。能分组分解的多项式有四项或大于四项，大多数情况下的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

6、拆添项法

把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式合适于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解,这样的分解因式的方式叫做拆项补项法。要注意，一定要在与原多项式相等的原则下进行变形。

7、配方式

针对某些不可以利用公式法的多项式，可以故将他配成一个完全平方法，然后再利用平方差公式，就可以故将他因式分解，这样的分解因式的方式叫做配方式。属于拆项、补项法的一种情况特殊。也要注意一定要在与原多

平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²

完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²

把式子倒过来： (a+b)(a-b)=a²-b² a²±2ab+b²= (a±b)² 就变成了因式分解。

因为这个原因，我们把用利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方式称之为公式法。 例子：

1、25-16x²=5²-(4x)²=(5+4x)(5-4x)

2、p4-1 =(p²+1)(p²-1) =(p²+1)(p+1)(p-1)

3、x²+14x+49 =x²+2·7·x+7² =(x+7)²

4、(m-2n)²-2(2n-m)(m+n)+(m+n)² =(m-2n)²+2(m-2n)²(m+n)+(m+n)² =[(m-2n)+(m+n)]² =(2m-n)²

分解因式和因式分解的区别?

依照现行初中数学考试教材，分解因式和因式分解是同一个数学概念。是指把一个多项式化为哪些因式乘积的形式。

分解因式或因式分解的方式，有提取公因式法，运用公式法(平方差公式或完全平方公式)，十字相乘法，分组分解法。针对一个二次三项式，还有求根公式法。

因式分解与分解因式没有区别是同一个意思，把一个多项式在一个范围化为哪些整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因式分解是中学数学中最最重要，要优先集中精力的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用是处理不少数学问题的有力工具。

因式分解是名称，分解因式是一个过程，而把乘积的形式转化为多项式叫整式乘法。这两个短语实际上在数学领域没是后面太大的区别，要是从语法的视角讲，还是有区别的：分解因式是动宾短语，分解是动词，因式是宾语；因式分解是名词性的短语，在数学上肯定是一种试题。分解因式是一种过程是你解题的过程，因式分解是结果是目标。

分解因式和因式分解表达的是一个内容，都表示将一个多项式之和用若干个因式的乘积来表示。比如，x²+5x+6=(x+2)(x+3)。

区别主要是语法上区别，分解是动词，表示动作；因式是名词是作为动作的目标结果。

分解因式具有主动性，表示大家主动将多项式分解因式。

因式分解具有被动性，表示多项式将被分解因式。

因式分解和分解因式没什么区别，核心都是分解成最简整式乘积的形式，但原则要清楚，分解彻底，小括号进行整式相乘，系数正负等等。

分解因式公式有什么？

因式分解公式:（1）平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)；（2）完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²；（3）立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)等等。

什么是因式分解

把一个多项式在一个范围化为哪些整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

因式分解主要有十字相乘法，还未确定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法等方式，求根公因式分解没有普遍适用的方式，初中数学考试教材中主要讲解了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

因式分解经常会用到公式

1、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。

2、完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²。

3、立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)。

4、立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。

5、完全立方和公式：a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³。

6、完全立方差公式：a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³。

7、三项完全平方公式：a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²。

8、三项立方和公式：a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)。

因式分解总共有哪些方式？

因式分解的方式有不少种，下面列出一部分常见的方式：

1. 提公因式法：将各项的公因式提出来。

2. 分组（配方式）法：将各项中的项根据特定的规律进行分组，进一步进行因式分解。

3. 平方差公式：a²-b²=(a+b)*(a-b)。

4. 二次平方差公式：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²。

5. 奇偶性分解法：设x是一个整数，则x³-x是一个3的倍数，x的奇偶性决定了x²也是奇偶性。

6. 辗转相除法：将一个数表示成两个因数的积的形式，可以通过辗转相除法来进行因式分解。

总而言之，因式分解的方式不少，不一样的情况需使用不一样的方式。特别是在处理复杂问题时，可能需各种方式结合使用才可以达到因式分解。

因式分解主要有十字相乘法，还未确定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法等方式，求根公因式分解没有普遍适用的方式，初中数学考试教材中主要讲解了提公因式法、运用公式法、分组分解法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

12种方式。分别是：

提公因法、应用公式法、分组分解法、十字相乘法、配方式、添项法、换元法、求根法、图象法、主元法、利用特殊值法、还未确定系数法 。

方式详解：

1、提公因法，假设一个多项式的各项都含有公因式，既然如此那，完全就能够把这个公因式提出来，以此将多项式化成两个因式乘积的形式。

2、应用公式法，因为分解因式与整式乘法有着互逆的关系，假设把乘法公式反过来，既然如此那，完全就能够用来把某些多项式分解因式。

3、分组分解法，要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，以此得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，以此得到(a+b)(m+n)。

4、十字相乘法，针对mx +px+q形式的多项式，假设a×b=m, c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)。



5、配方式，针对那些不可以利用公式法的多项式，有的能用到故将他配成一个完全平方法，然后再利用平方差公式，就可以故将他因式分解。

分解因式和因式分解有哪些区别啊？(从数学的的视角去解释)？

也就是说,因式分解和分解因式差不多的,都是多项式转化为乘积的形式,只不过,因式分解是名称,分解因式是一个过程,而把乘积的形式转化为多项式叫整式乘法.这两个短语实际上在数学领域没是后面太大的区别,要是从语法的视角讲,还是有区别的:分解因式,是动宾短语,分解是动词,因式是宾语;因式分解是名词性的短语,在数学上肯定是一种试题.分解因式是一种过程,是你解题的过程,因式分解是结果,是目标.你要求从数学的视角去解释,那就给你一个很简单的例子：将（A+B) ²进行因式分解.而（A+B) ²=（A+B)*(A+B)=A*(A+B)+B*(A+B)=A ²+AB+BA+B ²=A ²+2AB+B ²这个过程就叫做分解因式.

数学备考资料及辅导课程

数学培训班名师辅导课程