帮我详细解释一下三角函数、反三角函数和对，三角函数具体表示什么

帮我具体解释一下三角函数、反三角函数和对数函数？

．函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是.

2．函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] .

3．函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是.

4．函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .

5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝.

6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝.

7．若cosx＝－, x∈(, π)，则x＝.

8．若sinx＝－, x∈(－, 0)，则x＝.

9．若3ctgx＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝.

二．基本要求：

1．正确理解反三角函数的定义，把控掌握三角函数与反三角函数的当中的反函数关系；

2．掌握并熟悉反三角函数的定义域和值域，y＝arcsinx, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccosx, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看了解变量的取值范围；

3．符号arcsinx可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可理解为区间[0，π]上的一个实数；

4．y＝arcsinx等价于siny＝x, y∈[－，], y＝arccosx等价于cosy＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；

5．注意恒等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sinx)＝x, x∈[－，], arccos(cosx)＝x, x∈[0, π]地运用的条件；

6．掌握并熟悉反三角函数的奇偶性、增减性的判断，相当大一部分情况下，可以与对应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；

7．注意恒等式arcsinx＋arccosx＝, arctgx＋arcctgx＝的应用。

例一．下方罗列出来的各式中成立的是（C）。

（A）arcctg(－1)＝－ （B）arccos(－)＝－

（C）sin[arcsin(－)]＝－ （D）arctg(tgπ)＝π

解：(A)(B)中都是值域产生了问题，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π],

(D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都错误。

例二．下方罗列出来的函数中，存在反函数的是（D）。

（A）y＝sinx, x∈[－π, 0] （B）y＝sinx, x∈[, ]

（C）y＝sinx, x∈[,] （D）y＝sinx, x∈[,]

解：这道题是判断函数y＝sinx在什么地方个区间上是枯燥乏味函数，因为y＝sinx在区间[,]上是枯燥乏味递减函数， 故此，选D。

例三． arcsin(sin10)等于（C）。

（A）2π－10 （B）10－2π （C）3π－10 （D）10－3π

解：这道题是判断哪个的视角的正弦值与sin10相等，且该的视角在[－, ]上。

因为sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－, ], 故此，选C。

例四．得出下方罗列出来的函数的反函数，并求其定义域和值域。

（1）f (x)＝2sin2x, x∈[, ];（2）f (x)＝＋arccos2x.

解：(1) x∈[, ], 2x∈[, ], 2x－π∈[－, ], －2≤y≤2

由y＝2sin2x, 得sin2x＝, sin(2x－π)＝－sin2x＝－, ∴ 2x－π＝arcsin(－),

∴ x＝－arcsin, ∴ f －1(x)＝－arcsin, －2≤x≤2, y∈[, ].

(2) f (x)＝＋arccos2x, x∈[－, ], y∈[,],

∴ arccos2x＝y－, 2x＝cos(y－), x＝cos(y－)＝siny,

∴f －1(x)＝sinx , x∈[,], y∈[－, ].

例五．求下方罗列出来的函数的定义域和值域：

(1) y＝arccos; (2) y＝arcsin(－x2＋x); (3) y＝arcctg(2x－1),

解：(1) y＝arccos, 0≤1, ∴ x≥1, y∈[0, ).

(2) y＝arcsin(－x2＋x), －1≤－x2＋x≤1, ∴ ≤x≤,

因为－x2＋1＝－(x－)2＋, ∴ －1≤－x2＋x≤, ∴ －≤y≤arcsin.

(3) y＝arcctg(2x－1), 因为2x－1－1, ∴ 0 arcctg(2x－1), ∴ x∈R, y∈(0, ).

例六．求下方罗列出来的函数的值域：

(1) y＝arccos(sinx), x∈(－, ); (2) y＝arcsinx＋arctgx.

解：(1) ∵x∈(－, ), ∴ sinx∈(－, 1], ∴ y∈[0, ).

(2) ∵y＝arcsinx＋arctgx., x∈[－1, 1], 且arcsinx与arctgx都是增函数,

∴ －≤arcsinx≤, －≤arctgx≤, ∴ y∈[－,].

例七．判断下方罗列出来的函数的奇偶性：

(1) f (x)＝xarcsin(sinx); (2) f (x)＝－arcctgx.

解：(1) f (x)的定义域是R， f (－x)＝(－x)arcsin[sin(－x)]＝xarcsin(sinx)＝f (x),

∴ f (x)是偶函数;

(2) f (x)的定义域是R,

f (－x)＝－arcctg(－x)＝－(π－arcctgx)＝arcctgx－＝－f (－x),

∴ f (x)是奇函数.

例八．作函数y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π]的图象.

解：y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π], 得, 图象略。

例九．比较arcsin, arctg, arccos(－)的大小。

解：arcsin, arctg, arccos(－), ∴arccos(－)最大,

设arcsin＝α，sinα＝, 设arctg＝β, tgβ＝, ∴ sinβ＝sinα, ∴ βα,

∴ arctg arcsin arccos(－).

例十．解不等式：(1) arcsinxarccosx; (2) 3arcsinx－arccosx.

解：(1) x∈[－1, 1], 当x＝时, arcsinx＝arccosx, 又arcsinx是增函数,arccosx是减函数，

∴ 当x∈[－1, )时, arcsinxarccosx.

(2) ∵ arccosx＝－arcsinx, ∴ 原式化简得4arcsinx, ∴ arcsinx＝arcsin,

∵ arcsinx是增函数, ∴ x≤1.

三．基本技能训练题：

1．下方罗列出来的关系式总成立的是（B）。

（A）π－arccosx0 （B）π－arcctgx0 （C）arcsinx－≥0 （D）arctgx－0

2．定义在(－∞, ∞)上的减函数是（D）。

（A）y＝arcsinx （B）y＝arccosx （C）y＝arctgx （D）y＝arcctgx

3．不等式arcsinx－的解集是. 4．不等式arccosx的解集是.

四．考试试卷精选：

(一) 选择题：

1．cos(arccos)的值是（D）。

（A） （B） （C）cos （D）不存在

2．已知arcsinx1，既然如此那，x的范围是（C）。

（A）sin1x （B）sinxx≤ （C）sin1x≤1 （D）

3．已知y＝arcsinx·arctg|x| (－1≤x≤1)， 既然如此那，这个函数（A）。

（A）是奇函数 （B）是偶函数 （C）不仅是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数

4．若a＝arcsin(－), b＝arcctg(－), c＝arccos(－)，则a, b, c的大小关系是（B）。

（A）abc （B）acb （C）cab （D）cba

5．已知tgx＝－, x∈(, π)，则x＝（C）。

（A）＋arctg(－)（B）π－arctg(－)（C）π＋arctg(－)（D）

6．函数f (x)＝2arccos(x－2)的反函数是（D）。

（A）y＝(cosx－2) (0≤x≤π) （B）y＝ cos(x－2) (0≤x≤2π)

（C）y＝ cos(＋2) (0≤x≤π) （D）y＝ cos＋2 (0≤x≤2π)

7．若arccosx≥1，则x的取值范围是（D）。

（A）[－1, 1] （B）[－1, 0] （C）[0, 1] （D）[－1, arccos1]

8．函数y＝arccos(sinx) (－x)的值域是（B）。

（A）(, ) （B）[0, ] （C）(, ) （D）[,]

9．已知x∈[－1, 0]，则下方罗列出来的等式成立的是（B）。

（A）arcsin＝arccosx （B）arcsin＝π－arccosx

（C）arccos＝arcsinx （D）arccos＝π－arcsinx

10．直线2x＋y＋3＝0的倾斜角等于（C）。

（A）arctg2 （B）arctg(－2) （C）π－arctg2 （D）π－arctg(－2)

(二) 填空题：

11．若cosα＝－ (απ)，则α＝. (用反余弦表示)

12．函数y＝(arcsinx)2＋2arcsinx－1的最小值是 －2 .

13．函数y＝2sin2x (x∈[－, ])的反函数是.

14．函数y＝arcsin的定义域是 x≤1或x≥3 ，值域是

15．用反正切表示直线ax－y＋a＝0 (a≠0)的倾斜角为α＝

(三) 解题目作答：

16．求下方罗列出来的函数的反函数：

(1) y＝3cos2x, x∈[－, 0]; (2) y＝π＋arccosx2 (0x≤1).

解：(1) x∈[－, 0], ∴ 2x∈[－π, 0], 函数y＝3cos2x在定义域内是单值函数.

且－3≤y≤3. ∴ π＋2x∈[0, π], y＝3cos2x＝－3cos(π＋2x), cos(π＋2x)＝－,

∴ π＋2x＝arccos, ∴x＝arccos－,

∴y＝3cos2x, x∈[－, 0]的反函数是y＝arccos－, －3≤x≤3.

(2) ∵0x≤1, π≤y, ∴ arccosx2＝y－π, x2＝cos(y－π), x＝,

∴ 原函数的反函数是y＝, π≤x.

17．求函数y＝(arccosx)2－3arccosx的最值及对应的x的值。

解：函数y＝(arccosx)2－3arccosx, x∈[－1, 1], arccosx∈[0, π]

设arccosx＝t, 0≤t≤π, ∴ y＝t2－3t＝(t－)2－,

∴ 当t＝时,即x＝cos时, 函数获取最小值－，

当t＝π时,即x＝－1时，函数获取最大值π2－3π.

18．若f (arccosx)＝x2＋4x, 求f (x)的最值及对应的x的值。

解：设arccosx＝t, t∈[0, π], x＝cost, 代入得f (t)＝cos2t＋4cost,

∴ f (x)＝cos2x＋4cosx, x∈[0, π], cosx∈[－1, 1], f (x)＝(cosx＋2)2－4,

∴ 当cosx＝－1时,即x＝π时，函数获取最小值－3.

当cosx＝1时,即x＝0时，函数获取最大值5.

19．(1)求函数y＝arccos(x2－2x)的枯燥乏味递减区间; (2)求函数arctg(x2－2x)的枯燥乏味递增区间。

解：(1) 函数y＝arccosu, u∈[－1, 1]是减函数，

∴ －1≤x2－2x≤1,1－≤x≤1＋, 又x2－2x＝(x－1)2＋1,

∴ 1≤x≤1＋时, u＝x2－2x为增函数，按照复合函数的概念知这个时候原函数为减函数。

(2) 函数y＝arctgu增函数, u∈R, 又x2－2x＝(x－1)2＋1,

∴ 当x≥1时，原函数是增函数。

20．在曲线y＝5sin(arccos)上求一个点，使它到直线x＋y－10＝0的距离最远，并得出这个最远距离

解：设arccos＝α, －3≤x≤3, cosα＝,

y＝5sinα＝5,

三角函数的性质和图象

[重点]：复合三角函数的性质和图象

[难点]：复合三角函数的图象变换

[例题解析]

例题一．求函数的定义域：f(x)=

解：

(1): 2kπ≤x≤(2k+1)π (k∈Z)

(2): -4x4

定义域为 。

注意：sinx中的自变量x的单位是“弧度”，x∈R。

例题二．求y=cos( -2x)的递增区间。

分析（1）：该函数是y=cosu，u= -2x的复合函数，

∵ u= -2x为减函数，要求y=cos( -2x)的递增区间，只须求y=cosu的递减区间。

方式（1）：∵ y=cosu的递减区间为2kπ≤u≤π+2kπ (k∈Z)

∴ 令2kπ≤ -2x≤π+2kπ，- -kπ≤x≤ -kπ (k∈Z)

∵ -k与k等效，∴ 递增区间为[- +kπ, +kπ] (k∈Z)。

分析（2）：∵ cosu为偶函数，∴ y=cos(2x- )

设y=cost，t=2x- ，

∵ t=2x- 为增函数，要求y=cos(2x- )的递增区间，只须求y=cost的递增区间。

方式（2）：∵ y=cost的递增区间为π+2kπ≤t≤2π+2kπ (k∈Z)

∴ 令π+2kπ≤2x- ≤2π+2kπ， +kπ≤x≤ +kπ (k∈Z)

∴ 递增区间为 +kπ≤x≤ +kπ (k∈Z)。

注意：两种方式求得的结果表面上看不一样，但是，从图上看两种形式所表示的范围完全一样。

例题三．求函数y=sin2x+sinx·sin(x+ )的周期和值域。

分析：求函数的周期、值域、枯燥乏味区间等，针对三角函数式经常会用到的方式是转化为一个角的一个三角函数式。

解：y=

=

=

=

∴ T= =π，值域为[ ]。

例题四．求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值。

分析：sinx+cosx与sinxcosx有相互转化的关系，若将sinx+cosx看成为整体，设为新的元，函数式可转化为新元的函数式，注意新元的取值范围。

解：设sinx+cosx=t，t∈[- , ]。

则(sinx+cosx)2=t2，即1+2sinxcosx=t2，sinxcosx= ，

y=t+ = (t2+2t)- = (t+1)2-1，

当t= 时，ymax= + 。

例题五．判断下方罗列出来的函数的奇偶性

（1）y=sin(x+ )- cos(x+ )

（2）y=

分析：定义域为R，有关原点对称，经过等值变形尽可能转化为一个角的一个三角函数式，再判断其奇偶性。

解：（1）y=2[ sin(x+ )- cos(x+ )]

=2sin[(x+ )- ]

=2sinx

∴ 函数为奇函数。

（2）∵ 从分母可以得出定义域x≠π+2kπ且 (k∈Z)，在直角坐标系中定义域有关原点不对称。

∴ 函数为非奇非偶函数。

例题六．写出下方罗列出来的函数图象的剖析解读式

（1）将函数y=sinx的图象上全部点向左平移 个单位，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得到所求函数的图象。

（2）将函数y=cosx的图象上全部点横坐标缩为原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移 个单位，得到所求函数的图象。

（1）分析：按图象变换的顺序，自变量x的改变量依次是：+ ； 倍。

图象的剖析解读式依次为：y=sinx→y=sin(x+ )→y=sin( )。

解：所求函数图象的剖析解读式为y=sin( ),也可写为：y=sin (x+ ).

（2）分析：按图象变换的顺序，自变量x的改变量依次是：2倍；+ 。

图象的剖析解读式依次为：y=cosx→y=cos2x→y=cos2(x+ )。

解：所求函数图象的剖析解读式为y=cos2(x+ )，也可写为：y=cos(2x+ )。

例题七．已知函数y=sin(3x+ )

（1）判断函数的奇偶性；

（2）判断函数的对称性。

分析：函数的奇偶性与函数的对称性既有联系又有区别，用定义法，换元法。

解：（1）定义域为R，设f(x)=sin(3x+ )

f(-x)=sin[3(-x)+ ]=-sin(3x- )

∵ sin[3(-x)+ ]≠sin(3x+ )

sin[3(-x)+ ]≠-sin(3x+ )

∴ 函数y=sin(3x+ )不是奇函数也不是偶函数。

（2）函数y=sin(3x+ )的图象是轴对称图形，对称轴方程是3x+ =kπ+ 。

即x= (k∈Z)

函数y=sin(3x+ )的图象也是中心对称图形，∵ y=sinu图象的对称中心的坐标是(kπ,0)。

令3x+ =kπ，x= (k∈Z)。

∴ y=sin(3x+ )图象的对称中心的坐标是( ,0) (k∈Z)。

测试

选择题

1．y= 的定义域是（以下k∈Z）（ ）

(A)[2k ] (B)[2k ]

(C)[2k ] (D)(-∞,+∞)

2．f(x)= cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数，则θ=（ ）(以下k∈Z)

(A)kπ (B)kπ+ (C)kπ- (D)kπ+

3．在[ ]上与函数y=cos(x-π)的图象一样的函数是（ ）

(A)y= (B)y= (C)y=cos(x- ) (D)y=cos(-x-4π)

4．把函数y=sin(2x- )的图象向右平移 个单位，所得图像对应的函数是（ ）

(A)非奇非偶函数 (B)不仅是奇函数，又是偶函数

(C)奇函数 (D)偶函数

5．将函数y=sin( )的图象作请看下方具体内容的变换便得到函数y=sin x的图象（ ）

(A)向右平移 (B)向左平移 (C)向右平移 (D)向左平移

6．函数f(x)=sin(ωx+θ)·cos(ωx+θ) (ω0)以2为最小正周期，且能在x=2时获取最大值，则θ的一个值是（ ）

(A)- π (B)- π (C) π (D)

7．ω是正实数，函数 在 上递增，既然如此那，（ ）

(A) (B) (C) (D)

8．y=cos( +2x)sin( -2x)的枯燥乏味递增区间是（以下k∈Z）（ ）

(A)[ ] (B)[ ]

(C)[ ] (D)[ ]

9．函数y=3sin(x+ 的最大值为（ ）

(A)4 (B) (C)7 (D)8

10．当x∈( )时，f(x)=|sin(3kx+ )|有一个完整的周期，则k能取的最小正整数值是（ ）

(A)12 (B)13 (C)25 (D)26

答案与剖析解读

答案：1、D 2、C 3、A 4、D 5、C 6、A 7、A 8、A 9、D 10、B

剖析解读：

1．针对x∈R，-1≤sinx≤1，cos(sinx)0恒成立，故此，x∈R。

2．整理得到f(x)=2sin(+θ-3x)，则按照f(0)=0代入选项验证就可以。

注：奇函数的一个性质：假设奇函数f(x)的定义域中有0，则f(0)=0（反之未必成立）。

3．第一整理，y=cos(x-π)=-cosx，

y= =|cosx|=-cosx (∵x∈[]，cosx0)

y= (x= 时无意义，明显不是答案)

y=cos(x- π)=-sinx，

y=cos(-x-4π)=cosx。

4．y=sin(2x- ) y=sin(2(x- )- )=-cos2x。

注：针对函数图象平移，掌握并熟悉左加右减（向左平移时x加一个数，向右平移时x减一个数）的法则，还需注意，只是改变(x)。

5．y=sin x=sin[ (x- )+ ]， y=sin( x+ )→y=sin[ (x- )+ ]

即x变成x- ，故此，是向右平移 个单位。

6．整理得f(x)= sin(2ωx+2θ)，由T= =2，ω= ，且x=2时，f(x)取最大值，代入选项验证就可以。

7．令ωx=t，因为f(x)=2sint在[- ， ]上是增函数，

故此，- ≤t≤ ，即- ≤ωx≤ ，- ≤x≤ ，

按照已知f(x)在[- ， ]上递增，故此， ，解出0ω≤ 。

8．化简出y= - sin4x=- sin4x+ ，原题即求sin4x的递减区间，

2kπ+ ≤4x≤2kπ+ π ≤x≤ π。

9．注意到 ，化简原式y=8cos(x- )。

10．函数f(x)的周期T= ，按照题意T ，即 ，解出k≥4π。

注：函数f(x)=|sinωx|的周期是T= 。

含参数的三角函数问题

相关含参数的问题，因为能很好的考察分类讨论的数学思想和比较深入透彻地考察数学能力，在前几年的高中毕业考试中一度成为热门。但是，因为难度很大，近两年带来一定降温。含参数问题有点多的出现在->不等式和函数的相关问题中，在三角函数中也时有涉及。但因为三角函数在高中毕业考试中多以低档题和中档题产生，本部分内容相对比较难。

这里说的的含参数，就是与变量相关。因为这个原因处理这种类型问题要有变量的思想，就是要把参数当成是一个运动的、一个变化的量。这个参数变化为不一样的值时，可能对解题过程出现不一样的影响，这个问题就需分类讨论。下面哪些例题都是参变量与三角函数的图象与性质相结合的问题。

例题一．若针对一真真切切数x，cos2x=acos2x+bcosx+c恒成立，既然如此那，a2+b2+c2=_______。

分析：当变量x变化时，cosx的值也在变化，但这个变化不可以影响整个式子的值。

解：原式整理成：(a-2)cos2x+bcosx+c+1=0，即不论x取何值，这个式子恒成立，

则一定要a-2=0，b=0，c+1=0同时成立，解出a=2，b=0，c=-1，故此，a2+b2+c2=5。

注：要使acosx不受x值变化的影响，只可以a=0。

例题二．已知α,β∈[- ， ]，sinα=1-a, sinβ=1-a2, 又α+β0, 求a的取值范围。

分析：要求变量a的取值范围，则一定要按照已知条件找到一个含有a的不等式，同时注意这道题中正弦函数的有界性。

解：因为α+β0，则α-β，同时α,-β∈[- ， ],

按照y=sinx在[- ， ]上是增函数，得到sinαsin(-β)=-sinβ，

故此，有 ，解出1a≤ 。

注：这道题主要考察三角函数的值域和灵活应用枯燥乏味性。

例题三．函数y=sin2x+acos2x的图像有关直线x=- 对称，既然如此那，a的值是多少？

分析：函数f(x)的图象有关直线x=a对称，则有f(a+x)=f(a-x)

解：令f(x)=sin2x+acos2x，按照题意针对任意的x，f(- +x)=f(- -x)恒成立，

即sin(- +2x)+a·cos(- +2x)=sin(- -2x)+a·cos(- -2x)

sin(- +2x)+sin( +2x)=a[cos( +2x)-cos(- +2x)]

(1+a)sin2x=0

要使上式恒成立（不受x取值影响），一定要1+a=0，即a=-1。

注：1、是不是有和例题一类似的地方？

2、针对选择题，完全可以取有关x=- 对称的两个点代入验证，例如 。

例题四．已知方程2sin2x-cos2x+2sinx+m=0有解，求实数m的取值范围。

分析：把变量m独自放在一边，考察另一边的取值范围。

解：由原式得到m=-3sin2x-2sinx+1，

令y=-3sin2x-2sinx+1，则y有最大最小值，只要m在这个范围内，原方程就有解，

再令t=sinx，则-1≤t≤1,求y=-3t2-2t+1的值域。按照二次函数的图象-4≤y≤ ，

即-4≤m≤ 时，原方程有解。

注：把变量分离，独自放在一边也是处理变量的一个技巧。下面例题五也用到了。

例题五．已知0≤θ≤ ，求使cos2θ+2msinθ-2m-20成立的实数m的取值范围。

解：原式即2m(sinθ-1)1+sin2θ

当sinθ-1=0，即θ= 时，不论m取何值，原式成立，即m∈R.

当sinθ-1≠0，即θ≠ 时，原式即2m (sinθ-10)

令y= ，则y是一个变量，要使2my成立，只要2my的最大值就可以。

下面求y的最大值(0≤sinθ1 01-sinθ≤1)

y=

=sinθ+

=sinθ+1+

=-[(1-sinθ)+ ]+2

∵ (1-sinθ)+ 在1-sinθ=1即θ=0时，取最小值3，

∴ y最大值=-1，2m-1，m- ，

故此，当θ= 时，m取任意实数，原式都成立，

当0≤θ 时，m- 原式都成立。

注意：1、这道题是一个综合题，属于相对比较难的试题，考察的知识有点多，但要体会变量的思想。

2、求函数y=x+ (a0)的最值，可按照图像观察在(0,+∞)的图象，如图（是奇函数）。

总结：在例题一，3，4，5中都反映了变量的思想，注意体会。例题五比较深入透彻地考察了分类讨论的思想。此外含参数问题时常和取值范围联系在一起，也就注定了要与不等式联系在一起。

高中毕业考试精题

1．下方罗列出来的四个函数中，以π为最小正周期，且在区间 上为减函数的是（ ）。

A、y=cos2x B、y=2|sinx| C、 D、y=-cotx

解：y=cos2x, ，周期是π，在区间 上是增函数，

y=2|sinx|，周期是π，在区间 上是减函数，

，至少可以判断，在区间 上不是减函数，

y=-cotx，在区间 上是增函数，∴应选B。

2．函数y=x+sin|x|, x∈[-π,π]的总体图象是（ ）。

解：由函数的奇偶性（非奇非偶）及特殊点的坐标先删去A、B、D。∴ 应选C。

3．设函数f(x)=sin2x,若f(x+t)是偶函数，则t的一个可能值是___。

解：画出f(x)=sin2x的草图，不难看出将图像向左水平移 ，就可得到有关y轴对称的图像，

∴ 应填 。

4. 函数y=-xcosx的部分图像是（ ）。

解：∵ f(x)=-xcosx，∴ f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x),

既然如此那，f(x)是奇函数(x∈R)，可以在B、D中选，

又∵ 设图像上一点 ，在x轴下方，

∴ 应选D。

5．已知函数f(x)=x2+2x·tanθ-1， ，这当中 。

（1）当 时，求函数f(x)的最大值与最小值；

（2）求θ的取值范围，使y=f(x)在区间 上是。

解：（1）当 时， ，

∴ 时，f(x)的最小值为 ，

x=-1时，f(x)的最大值为 。

（2）函数f(x)=(x+tanθ)2-1-tan2θ图像的对称轴为x=-tanθ，

∵ y=f(x)在区间[-1, ]上是，

∴ -tanθ≤-1或 ，

即tanθ≥1或tanθ≤ ,

因为这个原因，θ的取值范围是 。

评注：这道题是二次函数与三角函数基本知识的综合题，问题（1）解中，得到二次函数的剖析解读式后，要注意区间端点处的函数值与该函数的最值的正确比较，加以取舍。

第（2）问中，依题设f(x)在区间 上是枯燥乏味函数，要分类考虑，若是枯燥乏味递增，则-tanθ≤-1，若是枯燥乏味递减，则 ，这一步是解题的重点，也是难点。

6．已知函数 x∈R。

（I）当函数y获取最大值时，求自变量x的集合；

（II）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：（I）

y获取最大值一定要且只要能

即 k∈Z。

故此，当函数y获取最大值时，自变量x的集合为 .

（II）将函数y=sinx依次进行请看下方具体内容变换：

(i)把函数y=sinx的图像向左平移 ，得到函数 的图像；

(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图像；

(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变），得到函数 的图像；

(IV)把得到的图像向上平移 个单位长度，得到函数 的图像；

综合上面所说得出得到函数 的图像。

评注：应用三角公式，将已知函数式化成一个角[即 ]的简单函数剖析解读式，便可讨论其最值，这道题的解答以对应的图像变换给以具体说明，要理解掌握并熟悉。

1．函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1] ，值域是. 2．函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] . 3．函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是. 4．函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) . 5．arcsin(－)＝; arccos(－)＝; arctg(－1)＝; arcctg(－)＝. 6．sin(arccos)＝; ctg[arcsin(－)]＝; tg(arctg)＝; cos(arcctg)＝. 7．若cosx＝－, x∈(, π)，则x＝. 8．若sinx＝－, x∈(－, 0)，则x＝. 9．若3ctgx＋1＝0, x∈(0, π)，则x＝. 二．基本要求： 1．正确理解反三角函数的定义，把控掌握三角函数与反三角函数的当中的反函数关系； 2．掌握并熟悉反三角函数的定义域和值域，y＝arcsinx, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccosx, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看了解变量的取值范围； 3．符号arcsinx可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可理解为区间[0，π]上的一个实数； 4．y＝arcsinx等价于siny＝x, y∈[－，], y＝arccosx等价于cosy＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据； 5．注意恒等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sinx)＝x, x∈[－，], arccos(cosx)＝x, x∈[0, π]地运用的条件； 6．掌握并熟悉反三角函数的奇偶性、增减性的判断，相当大一部分情况下，可以与对应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用； 7．注意恒等式arcsinx＋arccosx＝, arctgx＋arcctgx＝的应用。 例一．下方罗列出来的各式中成立的是（C）。 （A）arcctg(－1)＝－ （B）arccos(－)＝－ （C）sin[arcsin(－)]＝－ （D）arctg(tgπ)＝π 解：(A)(B)中都是值域产生了问题，即arcctg(－1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π], (D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－，], ∴ (A)(B)(D)都错误。 例二．下方罗列出来的函数中，存在反函数的是（D）。 （A）y＝sinx, x∈[－π, 0] （B）y＝sinx, x∈[, ] （C）y＝sinx, x∈[,] （D）y＝sinx, x∈[,] 解：这道题是判断函数y＝sinx在什么地方个区间上是枯燥乏味函数，因为y＝sinx在区间[,]上是枯燥乏味递减函数， 故此，选D。 例三． arcsin(sin10)等于（C）。 （A）2π－10 （B）10－2π （C）3π－10 （D）10－3π 解：这道题是判断哪个的视角的正弦值与sin10相等，且该的视角在[－, ]上。 因为sin(3π－10)＝sin(π－10)＝sin10, 且3π－10∈[－, ], 故此，选C。 例四．得出下方罗列出来的函数的反函数，并求其定义域和值域。 （1）f (x)＝2sin2x, x∈[, ];（2）f (x)＝＋arccos2x. 解：(1) x∈[, ], 2x∈[, ], 2x－π∈[－, ], －2≤y≤2 由y＝2sin2x, 得sin2x＝, sin(2x－π)＝－sin2x＝－, ∴ 2x－π＝arcsin(－), ∴ x＝－arcsin, ∴ f －1(x)＝－arcsin, －2≤x≤2, y∈[, ]. (2) f (x)＝＋arccos2x, x∈[－, ], y∈[,], ∴ arccos2x＝y－, 2x＝cos(y－), x＝cos(y－)＝siny, ∴f －1(x)＝sinx , x∈[,], y∈[－, ]. 例五．求下方罗列出来的函数的定义域和值域： (1) y＝arccos; (2) y＝arcsin(－x2＋x); (3) y＝arcctg(2x－1), 解：(1) y＝arccos, 0≤1, ∴ x≥1, y∈[0, ). (2) y＝arcsin(－x2＋x), －1≤－x2＋x≤1, ∴ ≤x≤, 因为－x2＋1＝－(x－)2＋, ∴ －1≤－x2＋x≤, ∴ －≤y≤arcsin. (3) y＝arcctg(2x－1), 因为2x－1－1, ∴ 0 arcctg(2x－1), ∴ x∈R, y∈(0, ). 例六．求下方罗列出来的函数的值域： (1) y＝arccos(sinx), x∈(－, ); (2) y＝arcsinx＋arctgx. 解：(1) ∵x∈(－, ), ∴ sinx∈(－, 1], ∴ y∈[0, ). (2) ∵y＝arcsinx＋arctgx., x∈[－1, 1], 且arcsinx与arctgx都是增函数, ∴ －≤arcsinx≤, －≤arctgx≤, ∴ y∈[－,]. 例七．判断下方罗列出来的函数的奇偶性： (1) f (x)＝xarcsin(sinx); (2) f (x)＝－arcctgx. 解：(1) f (x)的定义域是R， f (－x)＝(－x)arcsin[sin(－x)]＝xarcsin(sinx)＝f (x), ∴ f (x)是偶函数; (2) f (x)的定义域是R, f (－x)＝－arcctg(－x)＝－(π－arcctgx)＝arcctgx－＝－f (－x), ∴ f (x)是奇函数. 例八．作函数y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π]的图象. 解：y＝arcsin(sinx), x∈[－π, π], 得, 图象略。 例九．比较arcsin, arctg, arccos(－)的大小。 解：arcsin, arctg, arccos(－), ∴arccos(－)最大, 设arcsin＝α，sinα＝, 设arctg＝β, tgβ＝, ∴ sinβ＝sinα, ∴ βα, ∴ arctg arcsin arccos(－). 例十．解不等式：(1) arcsinxarccosx; (2) 3arcsinx－arccosx. 解：(1) x∈[－1, 1], 当x＝时, arcsinx＝arccosx, 又arcsinx是增函数,arccosx是减函数， ∴ 当x∈[－1, )时, arcsinxarccosx. (2) ∵ arccosx＝－arcsinx, ∴ 原式化简得4arcsinx, ∴ arcsinx＝arcsin, ∵ arcsinx是增函数, ∴ x≤1. 三．基本技能训练题： 1．下方罗列出来的关系式总成立的是（B）。 （A）π－arccosx0 （B）π－arcctgx0 （C）arcsinx－≥0 （D）arctgx－0 2．定义在(－∞, ∞)上的减函数是（D）。 （A）y＝arcsinx （B）y＝arccosx （C）y＝arctgx （D）y＝arcctgx 3．不等式arcsinx－的解集是. 4．不等式arccosx的解集是.四．考试试卷精选： (一) 选择题： 1．cos(arccos)的值是（D）。 （A） （B） （C）cos （D）不存在 2．已知arcsinx1，既然如此那，x的范围是（C）。 （A）sin1x （B）sinxx≤ （C）sin1x≤1 （D） 3．已知y＝arcsinx·arctg|x| (－1≤x≤1)， 既然如此那，这个函数（A）。 （A）是奇函数 （B）是偶函数 （C）不仅是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数 4．若a＝arcsin(－), b＝arcctg(－), c＝arccos(－)，则a, b, c的大小关系是（B）。 （A）abc （B）acb （C）cab （D）cba 5．已知tgx＝－, x∈(, π)，则x＝（C）。 （A）＋arctg(－)（B）π－arctg(－)（C）π＋arctg(－)（D） 6．函数f (x)＝2arccos(x－2)的反函数是（D）。 （A）y＝(cosx－2) (0≤x≤π) （B）y＝ cos(x－2) (0≤x≤2π) （C）y＝ cos(＋2) (0≤x≤π) （D）y＝ cos＋2 (0≤x≤2π) 7．若arccosx≥1，则x的取值范围是（D）。 （A）[－1, 1] （B）[－1, 0] （C）[0, 1] （D）[－1, arccos1] 8．函数y＝arccos(sinx) (－x)的值域是（B）。 （A）(, ) （B）[0, ] （C）(, ) （D）[,] 9．已知x∈[－1, 0]，则下方罗列出来的等式成立的是（B）。 （A）arcsin＝arccosx （B）arcsin＝π－arccosx （C）arccos＝arcsinx （D）arccos＝π－arcsinx 10．直线2x＋y＋3＝0的倾斜角等于（C）。 （A）arctg2 （B）arctg(－2) （C）π－arctg2 （D）π－arctg(－2) (二) 填空题： 11．若cosα＝－ (απ)，则α＝. (用反余弦表示) 12．函数y＝(arcsinx)2＋2arcsinx－1的最小值是 －2 . 13．函数y＝2sin2x (x∈[－, ])的反函数是. 14．函数y＝arcsin的定义域是 x≤1或x≥3 ，值域是 15．用反正切表示直线ax－y＋a＝0 (a≠0)的倾斜角为α＝(三) 解题目作答： 16．求下方罗列出来的函数的反函数： (1) y＝3cos2x, x∈[－, 0]; (2) y＝π＋arccosx2 (0x≤1). 解：(1) x∈[－, 0], ∴ 2x∈[－π, 0], 函数y＝3cos2x在定义域内是单值函数. 且－3≤y≤3. ∴ π＋2x∈[0, π], y＝3cos2x＝－3cos(π＋2x), cos(π＋2x)＝－, ∴ π＋2x＝arccos, ∴x＝arccos－, ∴y＝3cos2x, x∈[－, 0]的反函数是y＝arccos－, －3≤x≤3. (2) ∵0x≤1, π≤y, ∴ arccosx2＝y－π, x2＝cos(y－π), x＝, ∴ 原函数的反函数是y＝, π≤x. 17．求函数y＝(arccosx)2－3arccosx的最值及对应的x的值。 解：函数y＝(arccosx)2－3arccosx, x∈[－1, 1], arccosx∈[0, π] 设arccosx＝t, 0≤t≤π, ∴ y＝t2－3t＝(t－)2－, ∴ 当t＝时,即x＝cos时, 函数获取最小值－， 当t＝π时,即x＝－1时，函数获取最大值π2－3π. 18．若f (arccosx)＝x2＋4x, 求f (x)的最值及对应的x的值。 解：设arccosx＝t, t∈[0, π], x＝cost, 代入得f (t)＝cos2t＋4cost, ∴ f (x)＝cos2x＋4cosx, x∈[0, π], cosx∈[－1, 1], f (x)＝(cosx＋2)2－4, ∴ 当cosx＝－1时,即x＝π时，函数获取最小值－3. 当cosx＝1时,即x＝0时，函数获取最大值5. 19．(1)求函数y＝arccos(x2－2x)的枯燥乏味递减区间; (2)求函数arctg(x2－2x)的枯燥乏味递增区间。 解：(1) 函数y＝arccosu, u∈[－1, 1]是减函数， ∴ －1≤x2－2x≤1,1－≤x≤1＋, 又x2－2x＝(x－1)2＋1, ∴ 1≤x≤1＋时, u＝x2－2x为增函数，按照复合函数的概念知这个时候原函数为减函数。 (2) 函数y＝arctgu增函数, u∈R, 又x2－2x＝(x－1)2＋1, ∴ 当x≥1时，原函数是增函数。 20．在曲线y＝5sin(arccos)上求一个点，使它到直线x＋y－10＝0的距离最远，并得出这个最远距离 解：设arccos＝α, －3≤x≤3, cosα＝,y＝5sinα＝5, 三角函数的性质和图象[重点]：复合三角函数的性质和图象[难点]：复合三角函数的图象变换[例题解析]例题一．求函数的定义域：f(x)=解：(1): 2kπ≤x≤(2k+1)π (k∈Z)(2): -4x4定义域为 。 注意：sinx中的自变量x的单位是“弧度”，x∈R。 例题二．求y=cos( -2x)的递增区间。分析（1）：该函数是y=cosu，u= -2x的复合函数，∵ u= -2x为减函数，要求y=cos( -2x)的递增区间，只须求y=cosu的递减区间。方式（1）：∵ y=cosu的递减区间为2kπ≤u≤π+2kπ (k∈Z)∴ 令2kπ≤ -2x≤π+2kπ，- -kπ≤x≤ -kπ (k∈Z)∵ -k与k等效，∴ 递增区间为[- +kπ, +kπ] (k∈Z)。 分析（2）：∵ cosu为偶函数，∴ y=cos(2x- )设y=cost，t=2x- ， ∵ t=2x- 为增函数，要求y=cos(2x- )的递增区间，只须求y=cost的递增区间。方式（2）：∵ y=cost的递增区间为π+2kπ≤t≤2π+2kπ (k∈Z)∴ 令π+2kπ≤2x- ≤2π+2kπ， +kπ≤x≤ +kπ (k∈Z)∴ 递增区间为 +kπ≤x≤ +kπ (k∈Z)。注意：两种方式求得的结果表面上看不一样，但是，从图上看两种形式所表示的范围完全一样。例题三．求函数y=sin2x+sinx·sin(x+ )的周期和值域。分析：求函数的周期、值域、枯燥乏味区间等，针对三角函数式经常会用到的方式是转化为一个角的一个三角函数式。解：y= == = ∴ T= =π，值域为[ ]。例题四．求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值。分析：sinx+cosx与sinxcosx有相互转化的关系，若将sinx+cosx看成为整体，设为新的元，函数式可转化为新元的函数式，注意新元的取值范围。解：设sinx+cosx=t，t∈[- , ]。 则(sinx+cosx)2=t2，即1+2sinxcosx=t2，sinxcosx= ， y=t+ = (t2+2t)- = (t+1)2-1， 当t= 时，ymax= + 。 例题五．判断下方罗列出来的函数的奇偶性（1）y=sin(x+ )- cos(x+ )（2）y= 分析：定义域为R，有关原点对称，经过等值变形尽可能转化为一个角的一个三角函数式，再判断其奇偶性。解：（1）y=2[ sin(x+ )- cos(x+ )] =2sin[(x+ )- ] =2sinx ∴ 函数为奇函数。（2）∵ 从分母可以得出定义域x≠π+2kπ且 (k∈Z)，在直角坐标系中定义域有关原点不对称。 ∴ 函数为非奇非偶函数。例题六．写出下方罗列出来的函数图象的剖析解读式 （1）将函数y=sinx的图象上全部点向左平移 个单位，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得到所求函数的图象。（2）将函数y=cosx的图象上全部点横坐标缩为原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移 个单位，得到所求函数的图象。（1）分析：按图象变换的顺序，自变量x的改变量依次是：+ ； 倍。图象的剖析解读式依次为：y=sinx→y=sin(x+ )→y=sin( )。 解：所求函数图象的剖析解读式为y=sin( ),也可写为：y=sin (x+ ).（2）分析：按图象变换的顺序，自变量x的改变量依次是：2倍；+ 。图象的剖析解读式依次为：y=cosx→y=cos2x→y=cos2(x+ )。 解：所求函数图象的剖析解读式为y=cos2(x+ )，也可写为：y=cos(2x+ )。例题七．已知函数y=sin(3x+ )（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的对称性。分析：函数的奇偶性与函数的对称性既有联系又有区别，用定义法，换元法。解：（1）定义域为R，设f(x)=sin(3x+ )f(-x)=sin[3(-x)+ ]=-sin(3x- )∵ sin[3(-x)+ ]≠sin(3x+ ) sin[3(-x)+ ]≠-sin(3x+ )∴ 函数y=sin(3x+ )不是奇函数也不是偶函数。（2）函数y=sin(3x+ )的图象是轴对称图形，对称轴方程是3x+ =kπ+ 。即x= (k∈Z)函数y=sin(3x+ )的图象也是中心对称图形，∵ y=sinu图象的对称中心的坐标是(kπ,0)。 令3x+ =kπ，x= (k∈Z)。 ∴ y=sin(3x+ )图象的对称中心的坐标是( ,0) (k∈Z)。 测试选择题 1．y= 的定义域是（以下k∈Z）（ ）(A)[2k ] (B)[2k ] (C)[2k ] (D)(-∞,+∞)2．f(x)= cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数，则θ=（ ）(以下k∈Z)(A)kπ (B)kπ+ (C)kπ- (D)kπ+ 3．在[ ]上与函数y=cos(x-π)的图象一样的函数是（ ）(A)y= (B)y= (C)y=cos(x- ) (D)y=cos(-x-4π) 4．把函数y=sin(2x- )的图象向右平移 个单位，所得图像对应的函数是（ ）(A)非奇非偶函数 (B)不仅是奇函数，又是偶函数(C)奇函数 (D)偶函数 5．将函数y=sin( )的图象作请看下方具体内容的变换便得到函数y=sin x的图象（ ）(A)向右平移 (B)向左平移 (C)向右平移 (D)向左平移 6．函数f(x)=sin(ωx+θ)·cos(ωx+θ) (ω0)以2为最小正周期，且能在x=2时获取最大值，则θ的一个值是（ ）(A)- π (B)- π (C) π (D)7．ω是正实数，函数 在 上递增，既然如此那，（ ）(A) (B) (C) (D)8．y=cos( +2x)sin( -2x)的枯燥乏味递增区间是（以下k∈Z）（ ）(A)[ ] (B)[ ](C)[ ] (D)[ ] 9．函数y=3sin(x+ 的最大值为（ ）(A)4 (B) (C)7 (D)8 10．当x∈( )时，f(x)=|sin(3kx+ )|有一个完整的周期，则k能取的最小正整数值是（ ）(A)12 (B)13 (C)25 (D)26 答案与剖析解读答案：1、D 2、C 3、A 4、D 5、C 6、A 7、A 8、A 9、D 10、B剖析解读： 1．针对x∈R，-1≤sinx≤1，cos(sinx)0恒成立，故此，x∈R。 2．整理得到f(x)=2sin(+θ-3x)，则按照f(0)=0代入选项验证就可以。注：奇函数的一个性质：假设奇函数f(x)的定义域中有0，则f(0)=0（反之未必成立）。3．第一整理，y=cos(x-π)=-cosx， y= =|cosx|=-cosx (∵x∈[]，cosx0)y= (x= 时无意义，明显不是答案)y=cos(x- π)=-sinx， y=cos(-x-4π)=cosx。4．y=sin(2x- ) y=sin(2(x- )- )=-cos2x。注：针对函数图象平移，掌握并熟悉左加右减（向左平移时x加一个数，向右平移时x减一个数）的法则，还需注意，只是改变(x)。5．y=sin x=sin[ (x- )+ ]， y=sin( x+ )→y=sin[ (x- )+ ]即x变成x- ，故此，是向右平移 个单位。6．整理得f(x)= sin(2ωx+2θ)，由T= =2，ω= ，且x=2时，f(x)取最大值，代入选项验证就可以。7．令ωx=t，因为f(x)=2sint在[- ， ]上是增函数， 故此，- ≤t≤ ，即- ≤ωx≤ ，- ≤x≤ ， 按照已知f(x)在[- ， ]上递增，故此， ，解出0ω≤ 。 8．化简出y= - sin4x=- sin4x+ ，原题即求sin4x的递减区间， 2kπ+ ≤4x≤2kπ+ π ≤x≤ π。 9．注意到 ，化简原式y=8cos(x- )。10．函数f(x)的周期T= ，按照题意T ，即 ，解出k≥4π。 注：函数f(x)=|sinωx|的周期是T= 。 含参数的三角函数问题相关含参数的问题，因为能很好的考察分类讨论的数学思想和比较深入透彻地考察数学能力，在前几年的高中毕业考试中一度成为热门。但是，因为难度很大，近两年带来一定降温。含参数问题有点多的出现在->不等式和函数的相关问题中，在三角函数中也时有涉及。但因为三角函数在高中毕业考试中多以低档题和中档题产生，本部分内容相对比较难。这里说的的含参数，就是与变量相关。因为这个原因处理这种类型问题要有变量的思想，就是要把参数当成是一个运动的、一个变化的量。这个参数变化为不一样的值时，可能对解题过程出现不一样的影响，这个问题就需分类讨论。下面哪些例题都是参变量与三角函数的图象与性质相结合的问题。例题一．若针对一真真切切数x，cos2x=acos2x+bcosx+c恒成立，既然如此那，a2+b2+c2=_______。分析：当变量x变化时，cosx的值也在变化，但这个变化不可以影响整个式子的值。解：原式整理成：(a-2)cos2x+bcosx+c+1=0，即不论x取何值，这个式子恒成立，则一定要a-2=0，b=0，c+1=0同时成立，解出a=2，b=0，c=-1，故此，a2+b2+c2=5。注：要使acosx不受x值变化的影响，只可以a=0。 例题二．已知α,β∈[- ， ]，sinα=1-a, sinβ=1-a2, 又α+β0, 求a的取值范围。分析：要求变量a的取值范围，则一定要按照已知条件找到一个含有a的不等式，同时注意这道题中正弦函数的有界性。 解：因为α+β0，则α-β，同时α,-β∈[- ， ],按照y=sinx在[- ， ]上是增函数，得到sinαsin(-β)=-sinβ， 故此，有 ，解出1a≤ 。注：这道题主要考察三角函数的值域和灵活应用枯燥乏味性。例题三．函数y=sin2x+acos2x的图像有关直线x=- 对称，既然如此那，a的值是多少？ 分析：函数f(x)的图象有关直线x=a对称，则有f(a+x)=f(a-x)解：令f(x)=sin2x+acos2x，按照题意针对任意的x，f(- +x)=f(- -x)恒成立，即sin(- +2x)+a·cos(- +2x)=sin(- -2x)+a·cos(- -2x)sin(- +2x)+sin( +2x)=a[cos( +2x)-cos(- +2x)] (1+a)sin2x=0要使上式恒成立（不受x取值影响），一定要1+a=0，即a=-1。注：1、是不是有和例题一类似的地方？ 2、针对选择题，完全可以取有关x=- 对称的两个点代入验证，例如 。例题四．已知方程2sin2x-cos2x+2sinx+m=0有解，求实数m的取值范围。分析：把变量m独自放在一边，考察另一边的取值范围。解：由原式得到m=-3sin2x-2sinx+1， 令y=-3sin2x-2sinx+1，则y有最大最小值，只要m在这个范围内，原方程就有解， 再令t=sinx，则-1≤t≤1,求y=-3t2-2t+1的值域。按照二次函数的图象-4≤y≤ ，即-4≤m≤ 时，原方程有解。 注：把变量分离，独自放在一边也是处理变量的一个技巧。下面例题五也用到了。例题五．已知0≤θ≤ ，求使cos2θ+2msinθ-2m-20成立的实数m的取值范围。解：原式即2m(sinθ-1)1+sin2θ当sinθ-1=0，即θ= 时，不论m取何值，原式成立，即m∈R.当sinθ-1≠0，即θ≠ 时，原式即2m (sinθ-10)令y= ，则y是一个变量，要使2my成立，只要2my的最大值就可以。下面求y的最大值(0≤sinθ1 01-sinθ≤1)y= =sinθ+ =sinθ+1+ =-[(1-sinθ)+ ]+2∵ (1-sinθ)+ 在1-sinθ=1即θ=0时，取最小值3，∴ y最大值=-1，2m-1，m- ， 故此，当θ= 时，m取任意实数，原式都成立，当0≤θ 时，m- 原式都成立。注意：1、这道题是一个综合题，属于相对比较难的试题，考察的知识有点多，但要体会变量的思想。 2、求函数y=x+ (a0)的最值，可按照图像观察在(0,+∞)的图象，如图（是奇函数）。总结：在例题一，3，4，5中都反映了变量的思想，注意体会。例题五比较深入透彻地考察了分类讨论的思想。此外含参数问题时常和取值范围联系在一起，也就注定了要与不等式联系在一起。 高中毕业考试精题1．下方罗列出来的四个函数中，以π为最小正周期，且在区间 上为减函数的是（ ）。A、y=cos2x B、y=2|sinx| C、 D、y=-cotx解：y=cos2x, ，周期是π，在区间 上是增函数，y=2|sinx|，周期是π，在区间 上是减函数， ，至少可以判断，在区间 上不是减函数，y=-cotx，在区间 上是增函数，∴应选B。 2．函数y=x+sin|x|, x∈[-π,π]的总体图象是（ ）。 解：由函数的奇偶性（非奇非偶）及特殊点的坐标先删去A、B、D。∴ 应选C。 3．设函数f(x)=sin2x,若f(x+t)是偶函数，则t的一个可能值是___。 解：画出f(x)=sin2x的草图，不难看出将图像向左水平移 ，就可得到有关y轴对称的图像，∴ 应填 。4. 函数y=-xcosx的部分图像是（ ）。 解：∵ f(x)=-xcosx，∴ f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x),既然如此那，f(x)是奇函数(x∈R)，可以在B、D中选，又∵ 设图像上一点 ，在x轴下方，∴ 应选D。5．已知函数f(x)=x2+2x·tanθ-1， ，这当中 。（1）当 时，求函数f(x)的最大值与最小值；（2）求θ的取值范围，使y=f(x)在区间 上是枯燥乏味函数。解：（1）当 时， ，∴ 时，f(x)的最小值为 ， x=-1时，f(x)的最大值为 。（2）函数f(x)=(x+tanθ)2-1-tan2θ图像的对称轴为x=-tanθ， ∵ y=f(x)在区间[-1, ]上是枯燥乏味函数， ∴ -tanθ≤-1或 ， 即tanθ≥1或tanθ≤ ,因为这个原因，θ的取值范围是 。评注：这道题是二次函数与三角函数基本知识的综合题，问题（1）解中，得到二次函数的剖析解读式后，要注意区间端点处的函数值与该函数的最值的正确比较，加以取舍。第（2）问中，依题设f(x)在区间 上是枯燥乏味函数，要分类考虑，若是枯燥乏味递增，则-tanθ≤-1，若是枯燥乏味递减，则 ，这一步是解题的重点，也是难点。6．已知函数 x∈R。 （I）当函数y获取最大值时，求自变量x的集合；（II）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（I）y获取最大值一定要且只要能 即 k∈Z。 故此，当函数y获取最大值时，自变量x的集合为 .（II）将函数y=sinx依次进行请看下方具体内容变换：(i)把函数y=sinx的图像向左平移 ，得到函数 的图像；(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图像；(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变），得到函数 的图像； (IV)把得到的图像向上平移 个单位长度，得到函数 的图像；综合上面所说得出得到函数 的图像。评注：应用三角公式，将已知函数式化成一个角[即 ]的简单函数剖析解读式，便可讨论其最值，这道题的解答以对应的图像变换给以具体说明，要理解掌握并熟悉。

三角函数详细表示？

三角函数（Trigonometric Functions）是基本初等函数之一是以的视角（数学上最经常会用到弧度制，下同）为自变量，观察的视角对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。

三角函数将直角三角形的内角和它的两个边的比值有关联，也可等价地用与单位圆相关的各自不同的线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性情况的基础数学工具。

三角函数各要素？

三角函数是数学中常见的一类有关的视角的函数。其实就是常说的说以的视角为自变量，观察的视角对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值有关联，也可等价地用与单位圆相关的各自不同的线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性情况的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

常见的三角函数涵盖正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、半正矢函数等其他的三角函数。不一样的三角函数当中的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。

三角函数大多数情况下用于计算三角形中未知长度的边和未知的的视角，在导航、工程学还有物理学方面都拥有广泛的用途。此外以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期情况和不少其他应用中是非常的重要的。三角函数一般定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可等价的定义为单位圆上的各自不同的线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。

sin、cos、tg、ctg 这四个概念。这是三角函数的基本元素。

三角函数几年级学的？

初三上册（9年级上册）,讲解锐角三角函数,还有简单的计算 然后是高中 高一下册（23年级下册）,讲解任意角三角函数,并且还可以为不同的人群提供非常多三角函数公式和正余弦定理 高三时总学习自然会学习到,但高三的课本上没有三角函数

初三上册（9年级上册）,讲解锐角三角函数,还有简单的计算然后是高中高一下册（23年级下册）,讲解任意角三角函数,并且还可以为不同的人群提供非常多三角函数公式和正余弦定理高三时总学习自然会学习到,但高三的课本上没有三角函数

三角函数是初中学的还是高中学的？

三角函数在初中和高中都拥有学习。初中主要学习基本三角函数知识，有正弦，余弦，正切，余切，正割和余割。主要处理锐角(小于90度的角)的三角函数问题。

高中主要学习三角函数的更深的研究，把角的度数扩大到我们全体实数，涵盖锐角，钝角和平角等，研究的是我们全体实数范围内的三角函数。也是高中毕业考试的重点。

三角函数初中和高中都拥有学，初中学的比较浅，高中学得比较深。

三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性情况的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

这个是初中学的

不过是初中学的简单，高中学的有部分深入了。三角函数是相关三角形角边关系的一个数学小分支，例如说三角形的正弦，余弦，正切，余切等。

学好三角函数，才可以更好的学好数学，为以后的学科把基础知识功底打好。书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

是在初中和高中学的，大学学的是高等数学。

涵盖：

初中

　　有理数和无理数概念，基本函数（一次函数，二次函数，反比例函数），全等三角形，四边形，简单统计，圆，对称概念，相似，三角函数.方程和不等式

高中

　　集合，初等函数（指对数函数，幂函数，高次函数），二次函数根分布与不等式，导数，定积分，三角函数，剖析解读几何与圆锥曲线（椭圆，抛物线，双曲线），数列，统计与可能性，排列与组合，平面向量，立体几何。

初三学的三角函数，高中学幂函数

肯定是初中学的吧，初三上册数学

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