2023年数学联赛试题及每题详解，数学试卷分析方法及技巧图片

2012年数学联赛考试试卷及每题详解？

2012年全国初中数学联合竞赛考试试卷参考答案

第一试

一、选择题：（这道题满分42分，每小题7分）

1．已知 ， ， ，既然如此那， 的大小关系是 （ C ）

A.B.C. D.

2．方程 的整数解 的组数为 （ B ）

A．3. B．4. C．5. D．6.

3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 （ D ）

A．B． C． D．

4．已知实数 满足 ，则 的最小值为 （ B ）

A． . B．0. C．1.D． .

5．若方程 的两个不相等的实数根 满足 ，则实数 的全部可能的值之和为 （ B ）

A．0.B． . C． . D． .

6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数 （数字可重复使用），要求满足 .这样的四位数共有 （ C ）

A．36个. B．40个. C．44个. D．48个.

二、填空题：（这道题满分28分，每小题7分）

1．已知互不相等的实数 满足 ，则 ．

2．让 是完全平方数的整数 的个数为 1 ．

3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则 ＝ ．

4．已知实数 满足 ， ， ，则 ＝ ．

第二次考试 （A）

一、（这道题满分20分）已知直角三角形的边长都是整数，周长为30，求它的外接圆的面积.

解 设直角三角形的三边长分别是 （ ），则 .

明显，三角形的外接圆的直径即为斜边长 ，下面先求 的值.

由 及 得 ，故此， .

由 及 得 ，故此， .

又因为 为整数，故此， .

按照勾股定理可得 ，把 代入，化简得 ，故此，

，

因为 都是整数且 ，故此，只可能是 解得

故此直角三角形的斜边长 ，三角形的外接圆的面积为 .

二．（这道题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明： .

证明：连接OA，OB，OC.

∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得 ， .

又由切割线定理可得 ，∴ ，∴D、B、C、O四点共圆，

∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，

∴ ，∴ .

三．（这道题满分25分）已知抛物线 的顶点为P，与 轴的正半轴交于A 、B （ ）两点，与 轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M ，若AM//BC，求抛物线的剖析解读式.

解 易求得点P ，点C .

设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为 .

明显， 是一元二次方程 的两根，故此， ， ，又AB的中点E的坐标为 ，故此，AE＝ .

因为PA为⊙D的切线，故此，PA⊥AD，又AE⊥PD，故此，由射影定理可得 ，即 ，又易知 ，故此，可得 .

又由DA＝DC得 ，即 ，把 代入后可解得 （另一解 舍去）.

又因为AM//BC，故此， ，即 .

把 代入解得 （另一解 舍去）.

因为这个原因，抛物线的剖析解读式为 .

第二次考试 （B）

一．（这道题满分20分）已知直角三角形的边长都是整数，周长为60，求它的外接圆的面积.

解 设直角三角形的三边长分别是 （ ），则 .

明显，三角形的外接圆的直径即为斜边长 ，下面先求 的值.

由 及 得 ，故此， .

由 及 得 ，故此， .

又因为 为整数，故此， .

按照勾股定理可得 ，把 代入，化简得 ，故此，

，

因为 都是整数且 ，故此，只可能是 或

解得 或

当 时， ，三角形的外接圆的面积为 ；

当 时， ，三角形的外接圆的面积为 .

二．（这道题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明：∠BAE＝∠ACB.

证明：连接OA，OB，OC，BD.

∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得

， .

又由切割线定理可得 ，

∴ ，∴D、B、C、O四点共圆，

∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，

∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD， ∴ ，

∴ ，∴ .

又∠BDA＝∠BDP＋90°＝∠ODC＋90°＝∠ADC，∴△BDA∽△ADC，

∴∠BAD＝∠ACD，∴AB是△ADC的外接圆的切线，∴∠BAE＝∠ACB.

三．（这道题满分25分）试题和解答与（A）卷第三题一样.

第二次考试 （C）

一．（这道题满分20分）试题和解答与（B）卷第一题一样.

二．（这道题满分25分）试题和解答与（B）卷第二题一样.

三．（这道题满分25分）已知抛物线 的顶点为P，与 轴的正半轴交于A 、B （ ）两点，与 轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.将抛物线向左平移 个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q，且∠QBO＝∠OBC.求抛物线的剖析解读式.

解 抛物线的方程即 ，故此，点P ，点C .

设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为 .

明显， 是一元二次方程 的两根，故此， ， ，又AB的中点E的坐标为 ，故此，AE＝ .

因为PA为⊙D的切线，故此，PA⊥AD，又AE⊥PD，故此，由射影定理可得 ，即 ，又易知 ，故此，可得 .

又由DA＝DC得 ，即 ，把 代入后可解得 （另一解 舍去）.

将抛物线 向左平移 个单位后，得到的新抛物线为

.

易求得两抛物线的交点为Q .

由∠QBO＝∠OBC可得 ∠QBO＝ ∠OBC.

作QN⊥AB，垂足为N，则N ，又 ，故此，

∠QBO＝ ＝

.

又 ∠OBC＝ ，故此，

.

解得 （另一解 ，舍去）.

因为这个原因，抛物线的剖析解读式为 .

数学考试试卷分析方式及技巧？

选择题

01、大多数情况下来说前面几道题很容易，可以把4个选项往试题里面套，看哪个答案满足，就是正确答案。

02、据统计：选择题，ABCD任意一个选项成为正确答案的次数为3-5次。

既然如此那，考生们：(1)一题都不会写，也一定要都的答满，不可以都写一样的答案这样会一分都没有。

(2)仅仅会写1-2题，剩下的题都写跟自己会写题的答案明显不同的选项，这样至少可以得20分。比如，会写的题一题选A，一题选B，既然如此那，不懂写的15题都写C或者D。

(3)懂写3题以上，看看自己懂写的答案中ABCD哪个选项产生的次数少，既然如此那，不懂写的试题都写那个选项，这样至少可以得30分以上。比如：懂写6题，答案分别是AAABBC，那不懂写的就都写D。因为A成为正确答案的次数大多数情况下不能超出5题，目前已经写出三题选A了，从可能性的的视角来说A最多会再产生两次，而D则出现3-5次。

2.填空题

大多数情况下产生这当中有一题答案是0，1，2的概率很大，实在每题都不会写，就4题都写0或1或2，但写1的可能性相对0、2会高一点。假设你时间充裕，可以把0，1，2套进答案可能是整数的试题里面试试，这样运气好就可以做对一两题。

3.解题目作答

完全不懂也不能放弃解题目作答的成绩，解题目作答的特点是一层一层往下解答，最后得出一个答案。解题目作答的题目作答步骤,如：解：依题意可得～～～(试题中已知的数据写上去)公式～～～～～～～计算得～～～答：～～～～

有部分试题，我们可以把试题中给出的公式，变化一下，能顺着下来多少就是多少，把所想的步骤写上去，反正都思考了，不写白不写，写了就有可能成绩。

一:从逐题分析到整体分析

　　从每一道错题入手，分析错误的知识原因、能力原因、解题习惯原因等。分析思路是：

　　（1）该题目考核的重要内容及核心考点是什么?

　　（2）重要内容及核心考点的主要内容是什么?

　　（3）该题目是什么样运用这一重要内容及核心考点处理问题的?

　　（4）该题目的解题过程是什么?

　　（5）该题目还有其他的解法吗?在这里基础上，学生完全就能够进行整体分析，拿出一个整体结论了。

　　一般情况下，学生考试丢分的原因大体有三种，即知识不清、问题情景不清和表达不清。

　　这里说的“知识不清”，就是在考试以前没有把知识学了解，丢分出现在考试以前，与考试发挥没相关系。

　　这里说的“问题情景不清”，就是审题不清，没有把问题看明白，或是不可以把问题看明白。这是一个审题能力、审题习惯问题。

　　这里说的“表达不清”，指的是虽然知识具备、审题了解，问题可以处理，但表达凌乱、词不达意。上面说的问题一步一步由低级发展到高级。研究这三者所导致的丢分比例，用数字说话，也就可以够得到整体结论，找到整体方向了。

　　二：从数字分析到计算分析

　　要点有三：

　　（1）统计各科因各自不同的原因的丢成绩值。如计算失误失分、审题不清失分、考虑不周失分、公式记错失分、概念不清失分等。

　　（2）找出最不该丢的5～10分。这些成绩是最有期望取得的，找出来很有必要。在后续学习中，努力找回这些成绩可望可即。假设真正做到这些，既然如此那，不一样学科累计在一起，满分提升也就很可观了。

　　（3）任何一处失分，有可能是偶然性失分，也有一定概率是肯定性失分，学生要学会穿透实务的表象去深入了解其本质，找到失分的真正原因。

　　三：从口头分析到书面分析

　　在学习途中，反思十分必要。这里说的反思，就是自己和自己对话。这样的对话可能是潜意识的，可能是口头表达，最好书面表达。从潜意识的存在到口头表达是一次进步，从口头表达到书面表达又是一次进步。书面表达是考试结束之后考试试卷分析的最高级形式。故此建议学生在考试后写出书面的考试试卷分析。这个分析是反观自己的一面镜子是以后进步的重要阶梯。

　　四：从归因分析到对策分析

　　以上分析，都属情况分析，在这里基础上，学生完全就能够进行归因分析和对策分析。三种分析逐层递进：情况分析回答了“什么样”，归因分析回答“为什么”，对策分析回答“咋办，应该如何处理”。

课堂教学中怎样介绍数学习题？

课堂教学中，有条件，可以举例子进行介绍，这样会更生动形象一部分，学生也更容易理解一部分。

除开这点介绍数学题时，要尽量考虑到相当大一部分学生的实质上水平，由浅入深，逐次剖析。

最后，介绍结束，可以抽查学习的学习效果。