施瓦茨不等式公式

博宇考试网 2023-07-12 考研专业 次
施瓦茨不等式公式

施瓦茨不等式公式？

1、二维形式：

(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2

等号成立条件：ad=bc

2、三角形式：

√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]

等号成立条件：ad=bc

3、向量形式：

|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）

等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。

4、大多数情况下形式：

(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2

等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi都是零。

扩展资料：

基本不等式

(1)对正实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^20-2ab

(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0

(3)对负实数a,b，有a+b02√(a*b)

(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)

(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0

(6)对非负数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab

(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2

不等式的证明方式

(1)比较法：作差比较：.

作差比较的步骤：

（1）作差：对要相对较大小的两个数（或式）作差。

（2）变形：对差进行因式分解或配方成哪些数（或式）的完全平方和。

（3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。

(2)反证法：正难则反。

(3)放缩法：将不等式一侧一定程度上的放大或变小以达证试题的。

施瓦茨不等式如何证明？

施瓦茨不等式可以通过柯西-施瓦兹不等式来证明。柯西-施瓦兹不等式是一种数学统计方式，可以用来证明一组数据的离散程度是不是与整体分布相近。

针对任意的正数a和b，假设 s2=1+2^(k-1)(a+b)，既然如此那， k≥2时，有 a^2+b^2=(1+2^k)(a+b)。

施瓦茨不等式可以被证明施瓦茨不等式是线性代数中一个非常的重要的不等式，它可以由有关向量的内积的基本性质和半正定矩阵的性质推导得出除开这点施瓦茨不等式在不一样的数学领域，涵盖可能性论、函数论和拓扑学中都拥有重要的应用和推广

您好，施瓦茨不等式是线性代数中的一个重要不等式，它可以用各种方式证明。下面这些内容就是这当中一种证明方式：

假设有两个向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，它们的内积为 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$，则施瓦茨不等式可以表示为：

$$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq \|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|$$

这当中 $\|\mathbf{a}\|$ 和 $\|\mathbf{b}\|$ 分别表示向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的模长。

证明过程请看下方具体内容：

1. 第一，我们定义一个新的向量 $\mathbf{c}$，它满足 $\mathbf{c} = \mathbf{a} - \lambda \mathbf{b}$，这当中 $\lambda$ 是一个常数。

2. 因为 $\mathbf{c}$ 是向量，它的模长可以表示为 $\|\mathbf{c}\| = \sqrt{\mathbf{c} \cdot \mathbf{c}}$。

3. 对 $\mathbf{c}$ 进行平方展开，可以得到：

$$\begin{aligned} \|\mathbf{c}\|^2 = (\mathbf{a} - \lambda \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \lambda \mathbf{b}) \\ = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - 2\lambda \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \lambda^2 \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \end{aligned}$$

4. 因为 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}$ 都是非负数，故此，可以将上式改写为：

$$\|\mathbf{c}\|^2 = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - 2\lambda \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \lambda^2 \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \geq 0$$

5. 化简上式，得到：

$$\lambda^2 \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} -2\lambda \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} +\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} \geq 0$$

6. 上式是一个有关 $\lambda$ 的二次方程，当判别式小于等于零时，其有实根，即：

$$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 - \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} \leq 0$$

7. 化简上式，可以得到施瓦茨不等式：

$$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq \|\mathbf{a}\| \cdot \|\mathbf{b}\|$$

证毕。

如何证明柯西施瓦茨不等式？

实内积空间的情形：注意到y = 0时不等式明显成立，故此，可假设 非零。对任意 ，就可以清楚的知道 目前取值 ，代入後得到因为这个原因有复内积空间的情形证明类上。对任意 ，就可以清楚的知道目前取值 ，代入後得到因为这个原因有

cauchy-schwarz不等式的理解？

cauchy-schwarz不等式：等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。柯西施瓦茨不等式：ai、bi为任意实数（i=1,2...n)，则（a1^2+a2^2+.+an^2)(b1^2+b2^2+.+bn^2)=(a1b1+a2b2+.+anbn)^2.可以构造二次函数，借助判别式来证明。柯西－施瓦茨不等式是一个在很多背景下都拥有应用的不等式，比如线性代数，数学分析，可能性论，向量代数还有其他不少领域。

cauchy-schwarz不等式用向量来证：m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)，mn=a1b1+a2b2+......+anbn(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX。因为cosX小于等于1，故此，：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)。

柯西施瓦茨定理？

柯西-施瓦茨不等式是一个在很多背景下都拥有应用的不等式，比如线性代数，数学分析，可能性论，向量代数还有其他不少领域。它被觉得是数学中最最重要，要优先集中精力的不等式之一。此不等式最初于1823年被柯西提出，其积分形式在1859被布尼亚克夫斯基提出，而积分形式的现代证明则由施瓦兹于1888年给出。

柯西施瓦茨不等式取等号的条件。是不是g(x)=c？最好有证明？

肯定是f（x）=k* g（x）

柯西不等式揭示什么数学原理？

柯西不等式又称施瓦茨不等式是由大数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到是一种处理不等式证明问题时的重要不等式。 柯西不等式在处理不等式证明的相关问题中有着十分广泛的应用，对高等数学提高与研究有着很重要的地位是高等数学研究内容之一。

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